微分積分学準備例

$\sec (u) - \tan (u) = \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$

ステップ 2

$\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ に $\frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$ をかけます。

$\frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)} \cdot \frac{1 - \sin (u)}{1 - \sin (u)}$

ステップ 3

まとめる。

$\frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

ステップ 4.2

$\cos (u)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

ステップ 4.3

$\cos (u) + \cos (u) (- \sin (u))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + \sin (u)) (1 - \sin (u))$ を展開します。

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ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 (1 - \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

ステップ 5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) (1 - \sin (u))}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (u)) + \sin (u) \cdot 1 + \sin (u) (- \sin (u))}$

ステップ 5.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{1 - \sin^{2} (u)}$

ステップ 6

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos (u) - \cos (u) \sin (u)}{\cos^{2} (u)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\cos (u)$ を $\cos (u) - \cos (u) \sin (u)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\cos (u) \cdot 1 - \cos (u) \sin (u)}{{\cos (u)}^{2}}$

ステップ 7.1.2

$\cos (u)$ を $- \cos (u) \sin (u)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

ステップ 7.1.3

$\cos (u)$ を $\cos (u) \cdot 1 + \cos (u) (- \sin (u))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (u) (1 - \sin (u))}{{\cos (u)}^{2}}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

ステップ 8

ここで、方程式の左辺を考えます。

$\sec (u) - \tan (u)$

ステップ 9

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 9.1

$\sec (u)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (u)} - \tan (u)$

ステップ 9.2

商の恒等式を利用して $\tan (u)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\cos (u)} - \frac{\sin (u)}{\cos (u)}$

ステップ 10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - \sin (u)}{\cos (u)}$

ステップ 11

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sec (u) - \tan (u) = \frac{\cos (u)}{1 + \sin (u)}$ は公式です

微分積分学準備 例

微分積分学準備例