微分積分学準備例

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 \sin (θ) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ)$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 2.4

$a = 1$ と $b = \sin (θ)$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 3

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1 - \sin^{2} (θ)}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \sin (θ)$ です。

$\frac{{(1 + \sin (θ))}^{2}}{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}$

ステップ 4.2

${(1 + \sin (θ))}^{2}$ と $1 + \sin (θ)$ の共通因数を約分します。

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$

ステップ 5

$\frac{1 + \sin (θ)}{1 - \sin (θ)}$ を $\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$ に書き換えます。

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)}$

ステップ 6

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sec (θ) + \tan (θ)}{\sec (θ) - \tan (θ)} = \frac{1 + 2 \sin (θ) + \sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ は公式です

微分積分学準備 例