微分積分学準備例

$x^{3} + 9 x^{2} < - 6 x + 56$

ステップ 1

不等式の両辺に $6 x$ を足します。

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x < 56$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x = 56$

ステップ 3

方程式の両辺から $56$ を引きます。

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

有理根検定を用いて $x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ を因数分解します。

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ステップ 4.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 56, \pm 2, \pm 28, \pm 4, \pm 14, \pm 7, \pm 8$

ステップ 4.1.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{3} + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

ステップ 4.1.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 + 9 \cdot 2^{2} + 6 \cdot 2 - 56$

ステップ 4.1.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$8 + 9 \cdot 4 + 6 \cdot 2 - 56$

ステップ 4.1.3.4

$9$ に $4$ をかけます。

$8 + 36 + 6 \cdot 2 - 56$

ステップ 4.1.3.5

$8$ と $36$ をたし算します。

$44 + 6 \cdot 2 - 56$

ステップ 4.1.3.6

$6$ に $2$ をかけます。

$44 + 12 - 56$

ステップ 4.1.3.7

$44$ と $12$ をたし算します。

$56 - 56$

ステップ 4.1.3.8

$56$ から $56$ を引きます。

$0$

ステップ 4.1.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56}{x - 2}$

ステップ 4.1.5

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ を $x - 2$ で割ります。

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ステップ 4.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$6 x$

$56$

ステップ 4.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$

ステップ 4.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 4.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 4.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

ステップ 4.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 4.1.5.7

被除数 $11 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 4.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

ステップ 4.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $11 x^{2} - 22 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

ステップ 4.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$

ステップ 4.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

ステップ 4.1.5.12

被除数 $28 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$

ステップ 4.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							+	$28 x$	-	$56$

ステップ 4.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $28 x - 56$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$

ステップ 4.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$28$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	+	$6 x$	-	$56$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$
							+	$28 x$	-	$56$
							-	$28 x$	+	$56$
										$0$

ステップ 4.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 11 x + 28$

ステップ 4.1.6

$x^{3} + 9 x^{2} + 6 x - 56$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

ステップ 4.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 11 x + 28$ を因数分解します。

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ステップ 4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 11 x + 28$ を因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $28$ で、その和が $11$ です。

$4, 7$

ステップ 4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) ((x + 4) (x + 7)) = 0$

ステップ 4.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

ステップ 6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 7

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 8

$x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 9

最終解は $(x - 2) (x + 4) (x + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 4, - 7$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < - 4$

$- 4 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

${(- 10)}^{3} + 9 {(- 10)}^{2} < - 6 \cdot - 10 + 56$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 100$ は右辺 $116$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $- 7 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 7 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} < - 6 \cdot - 6 + 56$

ステップ 11.2.3

左辺 $108$ は右辺 $92$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $- 4 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $- 4 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} < - 6 \cdot 0 + 56$

ステップ 11.3.3

左辺 $0$ は右辺 $56$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{3} + 9 {(4)}^{2} < - 6 \cdot 4 + 56$

ステップ 11.4.3

左辺 $208$ は右辺 $32$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 7$ または $- 4 < x < 2$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 7) \cup (- 4, 2)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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