微分積分学準備例

$x^{3} - 2 x^{2} \geq 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 2 x^{2} = 0$

ステップ 2

$x^{2}$ を $x^{3} - 2 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} x - 2 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$x^{2}$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $x^{2} x + x^{2} \cdot - 2$ で因数分解します。

$x^{2} (x - 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

最終解は $x^{2} (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} \geq 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $- 16$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

${(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} \geq 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} \geq 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $32$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x \geq 2$ または $x = 0$

ステップ 10

区間をまとめます。

$x = 0 or x \geq 2$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$[0, 0] \cup [2, \infty)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

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