微分積分学準備例

$x^{2} + 2 x > 15$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 2 x = 15$

ステップ 2

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $x^{2} + 2 x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 15$ で、その和が $2$ です。

$- 3, 5$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 5

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 7

最終解は $(x - 3) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 5$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{2} + 2 (- 8) > 15$

ステップ 9.1.3

左辺 $48$ は右辺 $15$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.2

区間 $- 5 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 5 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 2 (0) > 15$

ステップ 9.2.3

左辺 $0$ は右辺 $15$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{2} + 2 (6) > 15$

ステップ 9.3.3

左辺 $48$ は右辺 $15$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $x > 3$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 5) \cup (3, \infty)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例