微分積分学準備例

$6 x^{2} - 15 x - 4 < 8 x$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

不等式の両辺から $8 x$ を引きます。

$6 x^{2} - 15 x - 4 - 8 x < 0$

ステップ 1.2

$- 15 x$ から $8 x$ を引きます。

$6 x^{2} - 23 x - 4 < 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$6 x^{2} - 23 x - 4 = 0$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ で和が $b = - 23$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$- 23$ を $- 23 x$ で因数分解します。

$6 x^{2} - 23 x - 4 = 0$

ステップ 3.1.2

$- 23$ を $1$ プラス $- 24$ に書き換える

$6 x^{2} + (1 - 24) x - 4 = 0$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 1 x - 24 x - 4 = 0$

ステップ 3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + x - 24 x - 4 = 0$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(6 x^{2} + x) - 24 x - 4 = 0$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (6 x + 1) - 4 (6 x + 1) = 0$

ステップ 3.3

最大公約数 $6 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(6 x + 1) (x - 4) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$6 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 5

$6 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$6 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$6 x + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $6 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$6 x = - 1$

ステップ 5.2.2

$6 x = - 1$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$6 x = - 1$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{6}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{6}$

ステップ 6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 7

最終解は $(6 x + 1) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{6}, 4$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{1}{6}$

$- \frac{1}{6} < x < 4$

$x > 4$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - \frac{1}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - \frac{1}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$6 {(- 3)}^{2} - 15 \cdot - 3 - 4 < 8 (- 3)$

ステップ 9.1.3

左辺 $95$ は右辺 $- 24$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.2

区間 $- \frac{1}{6} < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- \frac{1}{6} < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$6 {(0)}^{2} - 15 \cdot 0 - 4 < 8 (0)$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$6 {(6)}^{2} - 15 \cdot 6 - 4 < 8 (6)$

ステップ 9.3.3

左辺 $122$ は右辺 $48$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{1}{6}$ 偽

$- \frac{1}{6} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - \frac{1}{6}$ 偽

$- \frac{1}{6} < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{1}{6} < x < 4$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \frac{1}{6}, 4)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

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