微分積分学準備例

$5 x^{2} + 17 x < 12$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$5 x^{2} + 17 x = 12$

ステップ 2

方程式の両辺から $12$ を引きます。

$5 x^{2} + 17 x - 12 = 0$

ステップ 3

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 12 = - 60$ で和が $b = 17$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$17$ を $17 x$ で因数分解します。

$5 x^{2} + 17 (x) - 12 = 0$

ステップ 3.1.2

$17$ を $- 3$ プラス $20$ に書き換える

$5 x^{2} + (- 3 + 20) x - 12 = 0$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} - 3 x + 20 x - 12 = 0$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(5 x^{2} - 3 x) + 20 x - 12 = 0$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (5 x - 3) + 4 (5 x - 3) = 0$

ステップ 3.3

最大公約数 $5 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(5 x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 5

$5 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$5 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 3 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $5 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$5 x = 3$

ステップ 5.2.2

$5 x = 3$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$5 x = 3$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{3}{5}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{5}$

ステップ 6

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 7

最終解は $(5 x - 3) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3}{5}, - 4$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

$x > \frac{3}{5}$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$5 {(- 6)}^{2} + 17 (- 6) < 12$

ステップ 9.1.3

左辺 $78$ は右辺 $12$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.2

区間 $- 4 < x < \frac{3}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

区間 $- 4 < x < \frac{3}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$5 {(0)}^{2} + 17 (0) < 12$

ステップ 9.2.3

左辺 $0$ は右辺 $12$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 9.3

区間 $x > \frac{3}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

区間 $x > \frac{3}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$5 {(3)}^{2} + 17 (3) < 12$

ステップ 9.3.3

左辺 $96$ は右辺 $12$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ 真

$x > \frac{3}{5}$ 偽

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < \frac{3}{5}$ 真

$x > \frac{3}{5}$ 偽

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 < x < \frac{3}{5}$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- 4, \frac{3}{5})$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例