微分積分学準備例

$(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ を結ぶ線との間の $\cos (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(5 \frac{1}{2}, 0)$ 、 $(5 \frac{1}{2}, - 2 \sqrt{15})$ で三角形を描きます。

反対： $- 2 \sqrt{15}$

隣接： $5 \frac{1}{2}$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

$5 \frac{1}{2}$ を仮分数に変換します。

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ステップ 2.1.1

帯分数は分数の整数部分と分数部分のたし算です。

$\sqrt{{(5 + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

$5$ と $\frac{1}{2}$ をたし算します。

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ステップ 2.1.2.1

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sqrt{{(5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{{(\frac{5 \cdot 2 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.1

$5$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{{(\frac{10 + 1}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.2

$10$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{{(\frac{11}{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $\frac{11}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{11^{2}}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$11$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{121}{2^{2}} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2 \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 2.2.4

積の法則を $- 2 \sqrt{15}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{121}{4} + {(- 2)}^{2} {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 2.2.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 2.3

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

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ステップ 2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.3.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15^{1}}$

ステップ 2.3.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 4 \cdot 15}$

ステップ 2.4

$4$ に $15$ をかけます。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60}$

ステップ 2.5

$60$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{121}{4} + 60 \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 2.6

$60$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{121}{4} + \frac{60 \cdot 4}{4}}$

ステップ 2.7

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{121 + 60 \cdot 4}{4}}$

ステップ 2.8

分子を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$60$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{121 + 240}{4}}$

ステップ 2.8.2

$121$ と $240$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{361}{4}}$

ステップ 2.9

$\sqrt{\frac{361}{4}}$ を $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$361$ を $19^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{19}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.11

分母を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{19}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.11.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{19}{2}$

ステップ 3

$\cos (θ) = \frac{隣接}{斜辺}$ ゆえに $\cos (θ) = \frac{5 \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$ 。

$\frac{5 \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

ステップ 4

$\cos (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$5 \frac{1}{2}$ を仮分数に変換します。

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ステップ 4.1.1

帯分数は分数の整数部分と分数部分のたし算です。

$\cos (θ) = \frac{5 + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

ステップ 4.1.2

$5$ と $\frac{1}{2}$ をたし算します。

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ステップ 4.1.2.1

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\cos (θ) = \frac{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\cos (θ) = \frac{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{19}{2}}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\cos (θ) = \frac{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}}{\frac{19}{2}}$

ステップ 4.1.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$5$ に $2$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{\frac{10 + 1}{2}}{\frac{19}{2}}$

ステップ 4.1.2.4.2

$10$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) = \frac{\frac{11}{2}}{\frac{19}{2}}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\cos (θ) = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{19}$

ステップ 4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{19}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) = 11 (\frac{1}{19})$

ステップ 4.4

$11$ と $\frac{1}{19}$ をまとめます。

$\cos (θ) = \frac{11}{19}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\cos (θ) = \frac{11}{19} \approx 0.57894736$

微分積分学準備 例

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