微分積分学準備例

$\tan (\sin^{-1} (w))$

ステップ 1

交点 $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, w)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\sin^{-1} (w)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - w^{2}}, w)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (\sin^{-1} (w))$ は $\frac{w}{\sqrt{1 - w^{2}}}$ です。

$\frac{w}{\sqrt{1 - w^{2}}}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{w}{\sqrt{1^{2} - w^{2}}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $i = w$ です。

$\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

ステップ 3

$\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ をかけます。

$\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

ステップ 4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{w}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ に $\frac{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$ をかけます。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{\sqrt{(1 + w) (1 - w)} \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

ステップ 4.2

$\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1} \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}$

ステップ 4.3

$\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1} {\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1}}$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{2}}$

ステップ 4.6

${\sqrt{(1 + w) (1 - w)}}^{2}$ を $(1 + w) (1 - w)$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + w) (1 - w)}$ を ${((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{({((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{{((1 + w) (1 - w))}^{1}}$

ステップ 4.6.5

簡約します。

$\frac{w \sqrt{(1 + w) (1 - w)}}{(1 + w) (1 - w)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例