微分積分学準備例

$(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ を結ぶ線との間の $\cos (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(\frac{3 π}{2}, 0)$ 、 $(\frac{3 π}{2}, \frac{7 π}{4})$ で三角形を描きます。

反対： $\frac{7 π}{4}$

隣接： $\frac{3 π}{2}$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1.1

積の法則を $\frac{3 π}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{(3 π)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

積の法則を $3 π$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{3^{2} π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{2^{2}} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

ステップ 2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + {(\frac{7 π}{4})}^{2}}$

ステップ 2.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.4.1

積の法則を $\frac{7 π}{4}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{{(7 π)}^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 2.4.2

積の法則を $7 π$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{7^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 2.5

$7$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 2.6

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.7

$\frac{9 π^{2}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{9 π^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.8.1

$\frac{9 π^{2}}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4}{16} + \frac{49 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.10

因数分解した形で $\frac{9 π^{2} \cdot 4 + 49 π^{2}}{16}$ を書き換えます。

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ステップ 2.10.1

$4$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{36 π^{2} + 49 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.10.2

$36 π^{2}$ と $49 π^{2}$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.11

$\sqrt{\frac{85 π^{2}}{16}}$ を $\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{85 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

ステップ 2.12

分子を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$85$ と $π^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{\sqrt{π^{2} \cdot 85}}{\sqrt{16}}$

ステップ 2.12.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{16}}$

ステップ 2.13

分母を簡約します。

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ステップ 2.13.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{π \sqrt{85}}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 2.13.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{π \sqrt{85}}{4}$

ステップ 3

$\cos (θ) = \frac{隣接}{斜辺}$ ゆえに $\cos (θ) = \frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$ 。

$\frac{\frac{3 π}{2}}{\frac{π \sqrt{85}}{4}}$

ステップ 4

$\cos (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\cos (θ) = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

ステップ 4.2

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$π$ を $3 π$ で因数分解します。

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

ステップ 4.2.2

$π$ を $π \sqrt{85}$ で因数分解します。

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π (\sqrt{85})}$

ステップ 4.2.3

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{4}{π \sqrt{85}}$

ステップ 4.2.4

式を書き換えます。

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{85}}$

ステップ 4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 (2)}{\sqrt{85}}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$\cos (θ) = 3 (\frac{2}{\sqrt{85}})$

ステップ 4.4

$3$ と $\frac{2}{\sqrt{85}}$ をまとめます。

$\cos (θ) = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{85}}$

ステップ 4.5

$3$ に $2$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}}$

ステップ 4.6

$\frac{6}{\sqrt{85}}$ に $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{6}{\sqrt{85}} \cdot \frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$

ステップ 4.7

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.7.1

$\frac{6}{\sqrt{85}}$ に $\frac{\sqrt{85}}{\sqrt{85}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

ステップ 4.7.2

$\sqrt{85}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

ステップ 4.7.3

$\sqrt{85}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{\sqrt{85} \sqrt{85}}$

ステップ 4.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{\sqrt{85}}^{2}}$

ステップ 4.7.6

${\sqrt{85}}^{2}$ を $85$ に書き換えます。

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ステップ 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{85}$ を $85^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{{(85^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.7.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.7.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.7.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

ステップ 4.7.6.5

指数を求めます。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\cos (θ) = \frac{6 \sqrt{85}}{85} \approx 0.65079137$

微分積分学準備 例

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