微分積分学準備例

${(\sqrt{3} + i)}^{5}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

${\sqrt{3}}^{5}$ を $\sqrt{3^{5}}$ に書き換えます。

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.2

$3$ を $5$ 乗します。

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.3

$243$ を $9^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$81$ を $243$ で因数分解します。

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.3.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.5

${\sqrt{3}}^{4}$ を $3^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.5.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.5.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.5.4.2.3

式を書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.5.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.6

$3$ を $2$ 乗します。

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.7

$5$ に $9$ をかけます。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.8

${\sqrt{3}}^{3}$ を $\sqrt{3^{3}}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.9

$3$ を $3$ 乗します。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{27} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.10

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.10.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.11

累乗根の下から項を取り出します。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.12

$3$ に $10$ をかけます。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.13

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.14

$- 1$ に $30$ をかけます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.15

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.15.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.15.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.15.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.15.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.15.4.1

共通因数を約分します。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.15.4.2

式を書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.15.5

指数を求めます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.16

$10$ に $3$ をかけます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i^{3} + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.17

$i^{2}$ を因数分解します。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (i^{2} \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.18

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- 1 \cdot i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.19

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i) + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.20

$- 1$ に $30$ をかけます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + i^{5}$

ステップ 2.1.21

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.21.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

ステップ 2.1.21.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + i^{5}$

ステップ 2.1.21.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + i^{5}$

ステップ 2.1.22

$5$ に $1$ をかけます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{5}$

ステップ 2.1.23

$i^{4}$ を因数分解します。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i^{4} i$

ステップ 2.1.24

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.24.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(i^{2})}^{2} i$

ステップ 2.1.24.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{2} i$

ステップ 2.1.24.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + 1 i$

ステップ 2.1.25

$i$ に $1$ をかけます。

$9 \sqrt{3} + 45 i - 30 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$9 \sqrt{3}$ から $30 \sqrt{3}$ を引きます。

$45 i - 21 \sqrt{3} - 30 i + 5 \sqrt{3} + i$

ステップ 2.2.2

$45 i$ から $30 i$ を引きます。

$15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + i$

ステップ 2.2.3

$15 i$ と $i$ をたし算します。

$16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

ステップ 2.2.4

$- 21 \sqrt{3}$ と $5 \sqrt{3}$ をたし算します。

$16 i - 16 \sqrt{3}$

ステップ 2.2.5

$16 i$ と $- 16 \sqrt{3}$ を並べ替えます。

$- 16 \sqrt{3} + 16 i$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 16 \sqrt{3}$ と $b = 16$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{16^{2} + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$16$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 6.1.2

積の法則を $- 16 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{256 + {(- 16)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 6.1.3

$- 16$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{256 + 256 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 6.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{256 + 256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

ステップ 6.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{256 + 256 \cdot 3}$

ステップ 6.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$256$ に $3$ をかけます。

$| z | = \sqrt{256 + 768}$

ステップ 6.3.2

$256$ と $768$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{1024}$

ステップ 6.3.3

$1024$ を $32^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{32^{2}}$

ステップ 6.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 32$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{16}{- 16 \sqrt{3}})$

ステップ 8

$\frac{16}{- 16 \sqrt{3}}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{5 π}{6}$ です。

$θ = \frac{5 π}{6}$

ステップ 9

$θ = \frac{5 π}{6}$ と $| z | = 32$ の値を代入します。

$32 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

微分積分学準備 例

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