微分積分学準備例

$2 \cos^{2} (22.5 °) - 1$

ステップ 1

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 \cdot 22.5 °)$

ステップ 2

$2$ に $22.5 °$ をかけます。

$\cos (45)$

ステップ 3

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

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ステップ 3.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $45$ を書き直します。

$\cos (\frac{90}{2})$

ステップ 3.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

ステップ 3.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\sqrt{\frac{1 + \cos (90)}{2}}$

ステップ 3.4

$\cos (90)$ の厳密値は $0$ です。

$\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$

ステップ 3.5

$\sqrt{\frac{1 + 0}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.5.2

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.4

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.5.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.5.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.5.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.5.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.5.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.5.5.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 5

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 6

$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 7

$| z |$ を求めます。

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ステップ 7.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

ステップ 7.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 7.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 7.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 7.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

ステップ 7.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{2^{2}}}$

ステップ 7.3

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2}{4}}$

ステップ 7.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 7.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 7.4.2.2

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 7.4.2.3

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2}}$

ステップ 7.5

$0$ と $\frac{1}{2}$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.6

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.7

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.8

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 7.9

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.9.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 7.9.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 7.9.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 7.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 7.9.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 7.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.9.6.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.9.6.5

指数を求めます。

$| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 8

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

ステップ 9

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ の逆正接が第一象限で角を作るので、角の値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 10

$θ = 0$ と $| z | = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の値を代入します。

$\frac{\sqrt{2}}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$

微分積分学準備 例

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