微分積分学準備例

${(3 (\cos (27 °) + i \sin (27 °)))}^{5}$

ステップ 1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\cos (27 °)$ の値を求めます。

${(3 (0.89100652 + i \sin (27 °)))}^{5}$

ステップ 1.1.2

$\sin (27 °)$ の値を求めます。

${(3 (0.89100652 + i \cdot 0.45399049))}^{5}$

ステップ 1.1.3

$0.45399049$ を $i$ の左に移動させます。

${(3 (0.89100652 + 0.45399049 i))}^{5}$

ステップ 1.2

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

${(3 \cdot 0.89100652 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

ステップ 1.2.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$3$ に $0.89100652$ をかけます。

${(2.67301957 + 3 (0.45399049 i))}^{5}$

ステップ 1.2.2.2

$0.45399049$ に $3$ をかけます。

${(2.67301957 + 1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 2

二項定理を利用します。

${2.67301957}^{5} + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$2.67301957$ を $5$ 乗します。

$136.46167381 + 5 \cdot {2.67301957}^{4} (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.2

$2.67301957$ を $4$ 乗します。

$136.46167381 + 5 \cdot 51.05150564 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.3

$5$ に $51.05150564$ をかけます。

$136.46167381 + 255.25752824 (1.36197149 i) + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.4

$1.36197149$ に $255.25752824$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot {2.67301957}^{3} {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.5

$2.67301957$ を $3$ 乗します。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 10 \cdot 19.09881475 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.6

$10$ に $19.09881475$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 {(1.36197149 i)}^{2} + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.7

積の法則を $1.36197149 i$ に当てはめます。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 ({1.36197149}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.8

$1.36197149$ を $2$ 乗します。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 i^{2}) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.9

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1) + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.10

$190.98814753 (1.85496636 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.1

$1.85496636$ に $- 1$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i + 190.98814753 \cdot - 1.85496636 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.10.2

$190.98814753$ に $- 1.85496636$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot {2.67301957}^{2} {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.11

$2.67301957$ を $2$ 乗します。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 10 \cdot 7.14503363 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.12

$10$ に $7.14503363$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 {(1.36197149 i)}^{3} + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.13

積の法則を $1.36197149 i$ に当てはめます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 ({1.36197149}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.14

$1.36197149$ を $3$ 乗します。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 i^{3}) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.15

$i^{2}$ を因数分解します。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.16

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.17

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (2.52641132 (- i)) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.18

$- 1$ に $2.52641132$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 + 71.45033635 (- 2.52641132 i) + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.19

$- 2.52641132$ に $71.45033635$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 5 \cdot 2.67301957 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.20

$5$ に $2.67301957$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 {(1.36197149 i)}^{4} + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.21

積の法則を $1.36197149 i$ に当てはめます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 ({1.36197149}^{4} i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.22

$1.36197149$ を $4$ 乗します。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 i^{4}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.23

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.23.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(i^{2})}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.23.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 {(- 1)}^{2}) + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.23.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 (3.44090021 \cdot 1) + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.24

$13.36509786 (3.44090021 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.24.1

$3.44090021$ に $1$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 13.36509786 \cdot 3.44090021 + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.24.2

$13.36509786$ に $3.44090021$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {(1.36197149 i)}^{5}$

ステップ 3.1.25

積の法則を $1.36197149 i$ に当てはめます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + {1.36197149}^{5} i^{5}$

ステップ 3.1.26

$1.36197149$ を $5$ 乗します。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i^{5}$

ステップ 3.1.27

$i^{4}$ を因数分解します。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (i^{4} i)$

ステップ 3.1.28

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.28.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(i^{2})}^{2} i)$

ステップ 3.1.28.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 ({(- 1)}^{2} i)$

ステップ 3.1.28.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 (1 i)$

ステップ 3.1.29

$i$ に $1$ をかけます。

$136.46167381 + 347.65347843 i - 354.27658973 - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

ステップ 3.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$136.46167381$ から $354.27658973$ を引きます。

$- 217.81491592 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 45.98796809 + 4.68640802 i$

ステップ 3.2.2

$- 217.81491592$ と $45.98796809$ をたし算します。

$- 171.82694782 + 347.65347843 i - 180.51293863 i + 4.68640802 i$

ステップ 3.2.3

$347.65347843 i$ から $180.51293863 i$ を引きます。

$- 171.82694782 + 167.1405398 i + 4.68640802 i$

ステップ 3.2.4

$167.1405398 i$ と $4.68640802 i$ をたし算します。

$- 171.82694782 + 171.82694782 i$

ステップ 4

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 5

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 6

$a = - 171.82694782$ と $b = 171.82694782$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{171.82694782}^{2} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

ステップ 7

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$171.82694782$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + {(- 171.82694782)}^{2}}$

ステップ 7.2

$- 171.82694782$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{29524.4\overline{9} + 29524.4\overline{9}}$

ステップ 7.3

$29524.4\overline{9}$ と $29524.4\overline{9}$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{59048.\overline{9}}$

ステップ 8

根の値を求めます。

$| z | = 242.\overline{9}$

ステップ 9

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{171.82694782}{- 171.82694782})$

ステップ 10

$\frac{171.82694782}{- 171.82694782}$ の逆正切は $- 0.78539816$ です。

$θ = - 0.78539816$

ステップ 11

$θ = - 0.78539816$ と $| z | = 242.\overline{9}$ の値を代入します。

$242.\overline{9} (\cos (- 0.78539816) + i \sin (- 0.78539816))$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例