微分積分学準備例

$(\frac{3}{5} (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{3}}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 2

分配則を当てはめます。

$(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 3

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{3}{5}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$(\frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 3.2

$5$ に $2$ をかけます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 4

$\frac{3}{5} \cdot \frac{i \sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{3}{5}$ に $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ をかけます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{5 \cdot 2}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 4.2

$5$ に $2$ をかけます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 (i \sqrt{3})}{10}) (5 (\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\cos (\frac{3 π}{5})$ の値を求めます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5})))$

ステップ 5.1.2

$\sin (\frac{3 π}{5})$ の値を求めます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651))$

ステップ 5.1.3

$0.95105651$ を $i$ の左に移動させます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 (- 0.30901699 + 0.95105651 i))$

ステップ 5.2

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (5 \cdot - 0.30901699 + 5 (0.95105651 i))$

ステップ 5.2.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$5$ に $- 0.30901699$ をかけます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 5 (0.95105651 i))$

ステップ 5.2.2.2

$0.95105651$ に $5$ をかけます。

$(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

ステップ 6

分配法則（FOIL法）を使って $(\frac{3}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10}) (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (- 1.54508497 + 4.75528258 i)$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$\frac{3}{10} \cdot - 1.54508497$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1.1

$\frac{3}{10}$ と $- 1.54508497$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.1.2

$3$ に $- 1.54508497$ をかけます。

$\frac{- 4.63525491}{10} + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.2

$- 4.63525491$ を $10$ で割ります。

$- 0.46352549 + \frac{3}{10} (4.75528258 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.3

$\frac{3}{10} (4.75528258 i)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.3.1

$4.75528258$ と $\frac{3}{10}$ をまとめます。

$- 0.46352549 + \frac{4.75528258 \cdot 3}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.3.2

$4.75528258$ に $3$ をかけます。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.3.3

$\frac{14.26584774}{10}$ と $i$ をまとめます。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.4

$14.26584774$ を $14.26584774 i$ で因数分解します。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.5

$10$ を $10$ で因数分解します。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.6

分数を分解します。

$- 0.46352549 + \frac{14.26584774}{10} \cdot \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.7

$14.26584774$ を $10$ で割ります。

$- 0.46352549 + 1.42658477 \frac{i}{1} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.8

$i$ を $1$ で割ります。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497 + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.9

$\frac{3 i \sqrt{3}}{10} \cdot - 1.54508497$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.9.1

$\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ と $- 1.54508497$ をまとめます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{3 i \sqrt{3} \cdot - 1.54508497}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.9.2

$- 1.54508497$ に $3$ をかけます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 4.63525491 i \sqrt{3}}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.9.3

$\sqrt{3}$ に $- 4.63525491$ をかけます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i + \frac{- 8.02849701 i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{(8.02849701) i}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.11

$8.02849701$ を $8.02849701 i$ で因数分解します。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.12

$10$ を $10$ で因数分解します。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - \frac{8.02849701 (i)}{10 (1)} + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.13

分数を分解します。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (\frac{8.02849701}{10} \cdot \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.14

$8.02849701$ を $10$ で割ります。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 \frac{i}{1}) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.15

$i$ を $1$ で割ります。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - (0.8028497 i) + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.16

$0.8028497$ に $- 1$ をかけます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$

ステップ 7.1.17

$\frac{3 i \sqrt{3}}{10} (4.75528258 i)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.17.1

$4.75528258$ と $\frac{3 i \sqrt{3}}{10}$ をまとめます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{4.75528258 (3 i \sqrt{3})}{10} i$

ステップ 7.1.17.2

$3$ に $4.75528258$ をかけます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{14.26584774 (i \sqrt{3})}{10} i$

ステップ 7.1.17.3

$\sqrt{3}$ に $14.26584774$ をかけます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i}{10} i$

ステップ 7.1.17.4

$\frac{24.7091731 i}{10}$ と $i$ をまとめます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i i}{10}$

ステップ 7.1.17.5

$i$ を $1$ 乗します。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i)}{10}$

ステップ 7.1.17.6

$i$ を $1$ 乗します。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 (i^{1} i^{1})}{10}$

ステップ 7.1.17.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{1 + 1}}{10}$

ステップ 7.1.17.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 i^{2}}{10}$

ステップ 7.1.18

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{24.7091731 \cdot - 1}{10}$

ステップ 7.1.19

$24.7091731$ に $- 1$ をかけます。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i + \frac{- 24.7091731}{10}$

ステップ 7.1.20

$- 24.7091731$ を $10$ で割ります。

$- 0.46352549 + 1.42658477 i - 0.8028497 i - 2.47091731$

ステップ 7.2

$- 0.46352549$ から $2.47091731$ を引きます。

$- 2.9344428 + 1.42658477 i - 0.8028497 i$

ステップ 7.3

$1.42658477 i$ から $0.8028497 i$ を引きます。

$- 2.9344428 + 0.62373507 i$

ステップ 8

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 9

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 10

$a = - 2.9344428$ と $b = 0.62373507$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{0.62373507}^{2} + {(- 2.9344428)}^{2}}$

ステップ 11

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$0.62373507$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0.38904544 + {(- 2.9344428)}^{2}}$

ステップ 11.2

$- 2.9344428$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0.38904544 + 8.61095455}$

ステップ 11.3

$0.38904544$ と $8.61095455$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{9}$

ステップ 11.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{3^{2}}$

ステップ 11.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 3$

ステップ 12

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0.62373507}{- 2.9344428})$

ステップ 13

$\frac{0.62373507}{- 2.9344428}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $2.93215314$ です。

$θ = 2.93215314$

ステップ 14

$θ = 2.93215314$ と $| z | = 3$ の値を代入します。

$3 (\cos (2.93215314) + i \sin (2.93215314))$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例