微分積分学準備例

${(- 2 - 2 i)}^{4}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

${(- 2)}^{4} + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$16 + 4 {(- 2)}^{3} (- 2 i) + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.2

指数を足して ${(- 2)}^{3}$ に $- 2$ を掛けます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 2$ を移動させます。

$16 + 4 (- 2 {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.2.2

$- 2$ に ${(- 2)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$- 2$ を $1$ 乗します。

$16 + 4 ({(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}) i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$16 + 4 {(- 2)}^{1 + 3} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$16 + 4 {(- 2)}^{4} i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.3

$- 2$ を $4$ 乗します。

$16 + 4 \cdot 16 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.4

$4$ に $16$ をかけます。

$16 + 64 i + 6 {(- 2)}^{2} {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$16 + 64 i + 6 \cdot 4 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.6

$6$ に $4$ をかけます。

$16 + 64 i + 24 {(- 2 i)}^{2} + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.7

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$16 + 64 i + 24 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.8

$- 2$ を $2$ 乗します。

$16 + 64 i + 24 (4 i^{2}) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.9

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$16 + 64 i + 24 (4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.10

$24 (4 \cdot - 1)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.10.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$16 + 64 i + 24 \cdot - 4 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.10.2

$24$ に $- 4$ をかけます。

$16 + 64 i - 96 + 4 \cdot - 2 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.11

$4$ に $- 2$ をかけます。

$16 + 64 i - 96 - 8 {(- 2 i)}^{3} + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.12

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$16 + 64 i - 96 - 8 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.13

$- 2$ を $3$ 乗します。

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 i^{3}) + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.14

$i^{2}$ を因数分解します。

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.15

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- 1 \cdot i)) + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.16

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$16 + 64 i - 96 - 8 (- 8 (- i)) + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.17

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$16 + 64 i - 96 - 8 (8 i) + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.18

$8$ に $- 8$ をかけます。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2 i)}^{4}$

ステップ 2.1.19

積の法則を $- 2 i$ に当てはめます。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + {(- 2)}^{4} i^{4}$

ステップ 2.1.20

$- 2$ を $4$ 乗します。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 i^{4}$

ステップ 2.1.21

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.21.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.21.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.1.21.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16 \cdot 1$

ステップ 2.1.22

$16$ に $1$ をかけます。

$16 + 64 i - 96 - 64 i + 16$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.1

$16$ から $96$ を引きます。

$- 80 + 64 i - 64 i + 16$

ステップ 2.2.2

$- 80$ と $16$ をたし算します。

$- 64 + 64 i - 64 i$

ステップ 2.2.3

$64 i$ から $64 i$ を引きます。

$- 64 + 0$

ステップ 2.2.4

$- 64$ と $0$ をたし算します。

$- 64$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 64$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

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ステップ 6.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

ステップ 6.2

$- 64$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

ステップ 6.3

$0$ と $4096$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{4096}$

ステップ 6.4

$4096$ を $64^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

ステップ 6.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 64$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

ステップ 8

$\frac{0}{- 64}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $π$ です。

$θ = π$

ステップ 9

$θ = π$ と $| z | = 64$ の値を代入します。

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例