微分積分学準備例

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 1

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 2

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 3

$a = \frac{2 π}{3}$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

ステップ 4

$| z |$ を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

ステップ 4.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.1

積の法則を $\frac{2 π}{3}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 4.2.2

積の法則を $2 π$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 4.4

$3$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

ステップ 4.5

$0$ と $\frac{4 π^{2}}{9}$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$

ステップ 4.6

$\sqrt{\frac{4 π^{2}}{9}}$ を $\frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$4 π^{2}$ を ${(2 π)}^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{\sqrt{{(2 π)}^{2}}}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{9}}$

ステップ 4.8

分母を簡約します。

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ステップ 4.8.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \frac{2 π}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$

ステップ 6

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})$ と $| z | = \frac{2 π}{3}$ の値を代入します。

$\frac{2 π}{3 (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{2 π}{3}})))}$

微分積分学準備 例

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