微分積分学準備例

$\frac{6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

ステップ 1

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1

$3$ を $6 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

ステップ 1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)))}{3 (\cos (2 π) + i \sin (2 π))}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{\cos (2 π) + i \sin (2 π)}$

ステップ 2

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i}$ の分子と分母に $10 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π))}{10 i} \cdot \frac{1 + 0 i}{1 + 0 i}$

ステップ 3

掛け算します。

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ステップ 3.1

まとめる。

$\frac{2 (\cos (5 π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{2 (\cos (π) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{2 (- \cos (0) + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2 (- 1 \cdot 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (- 1 + i \sin (5 π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.1.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{2 (- 1 + i \sin (π)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{2 (- 1 + i \sin (0)) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.1.7

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{2 (- 1 + i \cdot 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.1.8

$i$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 (- 1 + 0) (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot - 1 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 (1 + 0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 \cdot 1 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 - 2 (0 i)}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.2.6

$0$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- 20 i}{(10 i) (1 + 0 i)}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(10 i) (1 + 0 i)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 20 i}{1 (1 + 0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

ステップ 3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i (1 + 0 i)}$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 20 i}{1 \cdot 1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 20 i}{1 + 1 (0 i) 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

ステップ 3.3.2.2

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i \cdot 10 i (0 i)}$

ステップ 3.3.2.3

$0$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i 0 i (0 i)}$

ステップ 3.3.2.4

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i i}$

ステップ 3.3.2.5

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i)}$

ステップ 3.3.2.6

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 (i^{1} i^{1})}$

ステップ 3.3.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{1 + 1}}$

ステップ 3.3.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0 i^{2}}$

ステップ 3.3.2.9

$0$ に $i^{2}$ をかけます。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i + 0}$

ステップ 3.3.2.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i 0 i}$

ステップ 3.3.2.11

$0 i$ から $0 i$ を引きます。

$\frac{- 20 i}{1 + 0 i}$

ステップ 3.3.3

$0$ に $i$ をかけます。

$\frac{- 20 i}{1 + 0}$

ステップ 3.3.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 20 i}{1}$

ステップ 4

$- 20 i$ を $1$ で割ります。

$- 20 i$

ステップ 5

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 6

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 7

$a = - 2$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(0)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 8

$| z |$ を求めます。

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ステップ 8.1

$0$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 2)}^{2}}$

ステップ 8.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + 4}$

ステップ 8.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{4}$

ステップ 8.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 8.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 2$

ステップ 9

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 2})$

ステップ 10

$\frac{0}{- 2}$ の逆正接が第三象限で角を作るので、角の値は $3.14159265$ です。

$θ = 3.14159265$

ステップ 11

$θ = 3.14159265$ と $| z | = 2$ の値を代入します。

$2 (\cos (3.14159265) + i \sin (3.14159265))$

微分積分学準備 例

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