微分積分学準備例

$- 4 \sqrt{2} (1 - i)$

ステップ 1

分配則を当てはめます。

$- 4 \sqrt{2} \cdot 1 - 4 \sqrt{2} (- i)$

ステップ 2

掛け算します。

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ステップ 2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} (- i)$

ステップ 2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} i$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 4 \sqrt{2}$ と $b = 4 \sqrt{2}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$16$ に $2$ をかけます。

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 6.3.2

積の法則を $- 4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.3.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.4

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.4.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

ステップ 6.4.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

ステップ 6.5

式を簡約します。

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ステップ 6.5.1

$16$ に $2$ をかけます。

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

ステップ 6.5.2

$32$ と $32$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{64}$

ステップ 6.5.3

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

ステップ 6.5.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 8$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

ステップ 8

$\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$θ = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9

$θ = \frac{3 π}{4}$ と $| z | = 8$ の値を代入します。

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例