微分積分学準備例

$\frac{x + 4}{2 x - 1} > 3$

ステップ 1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 > 0$

ステップ 2

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ を掛けます。

$\frac{x + 4}{2 x - 1} - 3 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.2

$- 3$ と $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ をまとめます。

$\frac{x + 4}{2 x - 1} + \frac{- 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x + 4 - 3 (2 x - 1)}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.4.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x + 4 - 6 x - 3 \cdot - 1}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.4.3

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x + 4 - 6 x + 3}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.4.4

$x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{- 5 x + 4 + 3}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.4.5

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 5 x + 7}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.5

$- 1$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x) + 7}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.6

$7$ を $- 1 (- 7)$ に書き換えます。

$\frac{- (5 x) - 1 (- 7)}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- (5 x) - 1 (- 7)$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.8

$- (5 x - 7)$ を $- 1 (5 x - 7)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (5 x - 7)}{2 x - 1} > 0$

ステップ 2.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 x - 7}{2 x - 1} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$5 x - 7 = 0$

$2 x - 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $7$ を足します。

$5 x = 7$

ステップ 5

$5 x = 7$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$5 x = 7$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{5}$

ステップ 6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 7

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = \frac{7}{5}$

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = \frac{7}{5}, \frac{1}{2}$

ステップ 10

$- \frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{5 x - 7}{2 x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 10.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 4}{2 (0) - 1} > 3$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 4$ は右辺 $3$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.2

区間 $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\frac{(1) + 4}{2 (1) - 1} > 3$

ステップ 12.2.3

左辺 $5$ は右辺 $3$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.3

区間 $x > \frac{7}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $x > \frac{7}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) + 4}{2 (4) - 1} > 3$

ステップ 12.3.3

左辺 $1.\overline{142857}$ は右辺 $3$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{2}$ 偽

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ 真

$x > \frac{7}{5}$ 偽

$x < \frac{1}{2}$ 偽

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$ 真

$x > \frac{7}{5}$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{1}{2} < x < \frac{7}{5}$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(\frac{1}{2}, \frac{7}{5})$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例