微分積分学準備例

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

$4$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$4$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + \sqrt{7}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$4$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - \sqrt{7}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 0, - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

ステップ 10

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 6}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 2 x - 6 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 10.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.3.1.3

$4$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.3.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.3.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

ステップ 10.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

ステップ 10.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.4.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.4.1.3

$4$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.4.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

ステップ 10.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

ステップ 10.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + \sqrt{7}$

ステップ 10.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.5.1.2.2

$- 4$ に $- 6$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.5.1.3

$4$ と $24$ をたし算します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.5.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

ステップ 10.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm \sqrt{7}$

ステップ 10.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - \sqrt{7}$

ステップ 10.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7}$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup (- 1 - \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}) \cup (- 1 + \sqrt{7}, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1 - \sqrt{7}$

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$

$x > - 1 + \sqrt{7}$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

区間 $x < - 1 - \sqrt{7}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

区間 $x < - 1 - \sqrt{7}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{- 6}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 6} \leq 0$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 0.\overline{3}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.2

区間 $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

区間 $- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) - 6} \leq 0$

ステップ 12.2.3

左辺 $0.\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.3

区間 $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

区間 $0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(1)}^{2} + 2 (1) - 6} \leq 0$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 0.\overline{3}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.4

区間 $x > - 1 + \sqrt{7}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

区間 $x > - 1 + \sqrt{7}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{4}{{(4)}^{2} + 2 (4) - 6} \leq 0$

ステップ 12.4.3

左辺 $0.\overline{2}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1 - \sqrt{7}$ 真

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ 偽

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ 真

$x > - 1 + \sqrt{7}$ 偽

$x < - 1 - \sqrt{7}$ 真

$- 1 - \sqrt{7} < x < 0$ 偽

$0 < x < - 1 + \sqrt{7}$ 真

$x > - 1 + \sqrt{7}$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1 - \sqrt{7}$ または $0 \leq x < - 1 + \sqrt{7}$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 1 - \sqrt{7}) \cup [0, - 1 + \sqrt{7})$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例