微分積分学準備例

$(x + 6) (x^{2} - 16) (1 - x) \leq 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 6 = 0$

$x^{2} - 16 = 0$

$1 - x = 0$

ステップ 2

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 3

$x^{2} - 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x^{2} - 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 16 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{2} - 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x^{2} = 16$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{16}$

ステップ 3.2.3

$\pm \sqrt{16}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

ステップ 3.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4, - 4$

ステップ 4

$1 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$1 - x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - x = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $1 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 4.2.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 5

最終解は $(x + 6) (x^{2} - 16) (1 - x) \leq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 6, 4, - 4, 1$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 6$

$- 6 < x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$((- 8) + 6) ({(- 8)}^{2} - 16) (1 - (- 8)) \leq 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $- 864$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.2

区間 $- 6 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- 6 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$((- 5) + 6) ({(- 5)}^{2} - 16) (1 - (- 5)) \leq 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $54$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.3

区間 $- 4 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $- 4 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 6) ({(0)}^{2} - 16) (1 - (0)) \leq 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $- 96$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.4

区間 $1 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1

区間 $1 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 7.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$((2) + 6) ({(2)}^{2} - 16) (1 - (2)) \leq 0$

ステップ 7.4.3

左辺 $96$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 7.5

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.5.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 7.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$((6) + 6) ({(6)}^{2} - 16) (1 - (6)) \leq 0$

ステップ 7.5.3

左辺 $- 1200$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 7.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 1$ 真

$1 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 1$ 真

$1 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 6$ または $- 4 \leq x \leq 1$ または $x \geq 4$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 6] \cup [- 4, 1] \cup [4, \infty)$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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