微分積分学準備例

$\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1} \geq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$5 x - 7 = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$5 x = 7$

ステップ 3

$5 x = 7$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$5 x = 7$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{5}$

ステップ 4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 6

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = \frac{7}{5}$

$x = 1, - 1$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = \frac{7}{5}, 1, - 1$

ステップ 10

$\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{5 x - 7}{x^{2} - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 10.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 10.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 10.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 10.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 10.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < \frac{7}{5}$

$x > \frac{7}{5}$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{5 (- 4) - 7}{{(- 4)}^{2} - 1} \geq 0$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 1.8$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.2

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{5 (0) - 7}{{(0)}^{2} - 1} \geq 0$

ステップ 12.2.3

左辺 $7$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.3

区間 $1 < x < \frac{7}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $1 < x < \frac{7}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.2$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $1.2$ で置き換えます。

$\frac{5 (1.2) - 7}{{(1.2)}^{2} - 1} \geq 0$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 2.\overline{27}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 12.4

区間 $x > \frac{7}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > \frac{7}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{5 (4) - 7}{{(4)}^{2} - 1} \geq 0$

ステップ 12.4.3

左辺 $0.8\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$1 < x < \frac{7}{5}$ 偽

$x > \frac{7}{5}$ 真

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 1$ 真

$1 < x < \frac{7}{5}$ 偽

$x > \frac{7}{5}$ 真

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < 1$ または $x \geq \frac{7}{5}$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- 1, 1) \cup [\frac{7}{5}, \infty)$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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