微分積分学準備例

$\frac{- 5}{x - 7} \leq - 5$

ステップ 1

不等式の両辺に $5$ を足します。

$\frac{- 5}{x - 7} + 5 \leq 0$

ステップ 2

$\frac{- 5}{x - 7} + 5$ を簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{x - 7} + 5 \leq 0$

ステップ 2.2

$5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 7}{x - 7}$ を掛けます。

$- \frac{5}{x - 7} + \frac{5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 5 + 5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$5$ を $- 5 + 5 (x - 7)$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.1.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot - 1 + 5 (x - 7)}{x - 7} \leq 0$

ステップ 2.4.1.2

$5$ を $5 \cdot - 1 + 5 (x - 7)$ で因数分解します。

$\frac{5 (- 1 + x - 7)}{x - 7} \leq 0$

ステップ 2.4.2

$- 1$ から $7$ を引きます。

$\frac{5 (x - 8)}{x - 7} \leq 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 8 = 0$

$x - 7 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 5

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 8$

$x = 7$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = 8, 7$

ステップ 8

$\frac{5 (x - 8)}{x - 7}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{5 (x - 8)}{x - 7}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 7 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 7$

$7 < x < 8$

$x > 8$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{- 5}{(0) - 7} \leq - 5$

ステップ 10.1.3

左辺 $0.\overline{714285}$ は右辺 $- 5$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.2

区間 $7 < x < 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $7 < x < 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 7.5$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $7.5$ で置き換えます。

$\frac{- 5}{(7.5) - 7} \leq - 5$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 10$ は右辺 $- 5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 10.3

区間 $x > 8$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > 8$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$\frac{- 5}{(10) - 7} \leq - 5$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 1.\overline{6}$ は右辺 $- 5$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 7$ 偽

$7 < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

$x < 7$ 偽

$7 < x < 8$ 真

$x > 8$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$7 < x \leq 8$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(7, 8]$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例