微分積分学準備例

$\frac{x^{2} - 49}{x - 9} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} - 49 = 0$

$x - 9 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $49$ を足します。

$x^{2} = 49$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{49}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{49}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{7^{2}}$

ステップ 4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 7$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 7$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 7$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 7, - 7$

ステップ 6

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 7, - 7$

$x = 9$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 7, - 7, 9$

ステップ 9

$\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{x^{2} - 49}{x - 9}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 9 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 9) \cup (9, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$\frac{{(- 10)}^{2} - 49}{(- 10) - 9} \leq 0$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 2.68421052$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.2

区間 $- 7 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 7 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} - 49}{(0) - 9} \leq 0$

ステップ 11.2.3

左辺 $5.\overline{4}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.3

区間 $7 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $7 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{{(8)}^{2} - 49}{(8) - 9} \leq 0$

ステップ 11.3.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 11.4

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

$\frac{{(12)}^{2} - 49}{(12) - 9} \leq 0$

ステップ 11.4.3

左辺 $31.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < 7$ 偽

$7 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

$x < - 7$ 真

$- 7 < x < 7$ 偽

$7 < x < 9$ 真

$x > 9$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 7$ または $7 \leq x < 9$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 7] \cup [7, 9)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例