微分積分学準備例

$(2 x + 1) (3 x - 4) > 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 4 = 0$

ステップ 2

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 2.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

$3 x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 4 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 x = 4$

ステップ 3.2.2

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 4

最終解は $(2 x + 1) (3 x - 4) > 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$(2 (- 3) + 1) (3 (- 3) - 4) > 0$

ステップ 6.1.3

左辺 $65$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.2

区間 $- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(2 (0) + 1) (3 (0) - 4) > 0$

ステップ 6.2.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.3

区間 $x > \frac{4}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $x > \frac{4}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$(2 (4) + 1) (3 (4) - 4) > 0$

ステップ 6.3.3

左辺 $72$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{1}{2}$ 真

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ 偽

$x > \frac{4}{3}$ 真

$x < - \frac{1}{2}$ 真

$- \frac{1}{2} < x < \frac{4}{3}$ 偽

$x > \frac{4}{3}$ 真

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{1}{2}$ または $x > \frac{4}{3}$

ステップ 8

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

ステップ 9

微分積分学準備 例

微分積分学準備例