微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 36 x$

ステップ 1

$x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 36 x$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{4} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 9 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - 9 x^{2} + 36 x = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $- 9 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 9 x) + 36 x = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x$ を $36 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 9 x) + x \cdot 36 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x$ を $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ で因数分解します。

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 9 x) + x \cdot 36 = 0$

ステップ 2.1.1.6

$x$ を $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 9 x)$ で因数分解します。

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 9 x) + x \cdot 36 = 0$

ステップ 2.1.1.7

$x$ を $x (x^{3} - 4 x^{2} - 9 x) + x \cdot 36$ で因数分解します。

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36) = 0$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x ((x^{3} - 4 x^{2}) - 9 x + 36) = 0$

ステップ 2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4)) = 0$

ステップ 2.1.3

最大公約数 $x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x ((x - 4) (x^{2} - 9)) = 0$

ステップ 2.1.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x ((x - 4) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

ステップ 2.1.5

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$x ((x - 4) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

ステップ 2.1.5.1.2

不要な括弧を削除します。

$x ((x - 4) (x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.7

最終解は $x (x - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4, - 3, 3$

ステップ 3

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