微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$

ステップ 1

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x - 75 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 4 x^{3} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 4 x$ を $- 4 x^{3} - 20 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 4 x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$- 4 x \cdot x^{2} - 20 x + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 4 x$ を $- 20 x$ で因数分解します。

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 5 + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 4 x$ を $- 4 x (x^{2}) - 4 x (5)$ で因数分解します。

$- 4 x (x^{2} + 5) + x^{4} - 10 x^{2} - 75 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 4 x (x^{2} + 5) + {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 75 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 4 x (x^{2} + 5) + u^{2} - 10 u - 75 = 0$

ステップ 2.1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - 10 u - 75$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 75$ で、その和が $- 10$ です。

$- 15, 5$

ステップ 2.1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 4 x (x^{2} + 5) + (u - 15) (u + 5) = 0$

ステップ 2.1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

ステップ 2.1.7

$x^{2} + 5$ を $- 4 x (x^{2} + 5) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + 5$ を $- 4 x (x^{2} + 5)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} - 15) (x^{2} + 5) = 0$

ステップ 2.1.7.2

$x^{2} + 5$ を $(x^{2} - 15) (x^{2} + 5)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15) = 0$

ステップ 2.1.7.3

$x^{2} + 5$ を $(x^{2} + 5) (- 4 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} - 15)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 5) (- 4 x + x^{2} - 15) = 0$

ステップ 2.1.8

項を並べ替えます。

$(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 5 = 0$

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2} + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 5 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x^{2} = - 5$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

ステップ 2.3.2.3

$\pm \sqrt{- 5}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

ステップ 2.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (5)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

ステップ 2.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{5}$

ステップ 2.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{5}$

ステップ 2.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{5}$

ステップ 2.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

ステップ 2.4

$x^{2} - 4 x - 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} - 4 x - 15$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 4 x - 15 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} - 4 x - 15 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = - 15$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 15$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 60}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$16$ と $60$ をたし算します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$76$ を $2^{2} \cdot 19$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.2.3.1.4.1

$4$ を $76$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm \sqrt{19}$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

ステップ 2.5

最終解は $(x^{2} + 5) (x^{2} - 4 x - 15) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, 2 + \sqrt{19}, 2 - \sqrt{19}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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