微分積分学準備例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$

ステップ 1

$x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 8 x^{3} + 42 x^{2} - 8 x + 41 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 8 x$ を $- 8 x^{3} - 8 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 8 x$ を $- 8 x^{3}$ で因数分解します。

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 8 x$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 8 x$ を $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ で因数分解します。

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 42 x^{2} + 41 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 42 x^{2} + 41 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 42 u + 41 = 0$

ステップ 2.1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + 42 u + 41$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $41$ で、その和が $42$ です。

$1, 41$

ステップ 2.1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 41) = 0$

ステップ 2.1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

ステップ 2.1.7

$x^{2} + 1$ を $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + 1$ を $- 8 x (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41) = 0$

ステップ 2.1.7.2

$x^{2} + 1$ を $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 41)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 41) = 0$

ステップ 2.1.8

項を並べ替えます。

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.3.2.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 2.4

$x^{2} - 8 x + 41$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} - 8 x + 41$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} - 8 x + 41 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 8$ 、および $c = 41$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 41$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $41$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$64$ から $164$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$- 100$ を $- 1 (100)$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (100)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.7

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.9

$10$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{8 \pm 10 i}{2}$ を簡約します。

$x = 4 \pm 5 i$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 4 + 5 i, 4 - 5 i$

ステップ 2.5

最終解は $(x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x + 41) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = i, - i, 4 + 5 i, 4 - 5 i$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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