微分積分学準備例

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 42 x$

ステップ 1

$x^{5} + x^{3} - 42 x$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} + x^{3} - 42 x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{5} + x^{3} - 42 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 42 x = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 42 x = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $- 42 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 42 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ で因数分解します。

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x$ を $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 42$ で因数分解します。

$x (x^{4} + x^{2} - 42) = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 42) = 0$

ステップ 2.1.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (u^{2} + u - 42) = 0$

ステップ 2.1.4

たすき掛けを利用して $u^{2} + u - 42$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 42$ で、その和が $1$ です。

$- 6, 7$

ステップ 2.1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((u - 6) (u + 7)) = 0$

ステップ 2.1.5

因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x ((x^{2} - 6) (x^{2} + 7)) = 0$

ステップ 2.1.5.2

不要な括弧を削除します。

$x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

$x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x^{2} - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x^{2} = 6$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{6}$

ステップ 2.4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{6}$

ステップ 2.4.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{6}$

ステップ 2.4.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 2.5

$x^{2} + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 7 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x^{2} = - 7$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 7}$

ステップ 2.5.2.3

$\pm \sqrt{- 7}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

ステップ 2.5.2.3.2

$\sqrt{- 1 (7)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{7}$

ステップ 2.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{7}$

ステップ 2.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{7}$

ステップ 2.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

ステップ 2.6

最終解は $x (x^{2} - 6) (x^{2} + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}, i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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