微分積分学準備例

$\frac{6 x}{x^{2} + 6 x + 9} + \frac{7}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{6 x}{x^{2} + 6 x + 3^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{6 x}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 1.1.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}} + \frac{7}{(x + 2) (x + 3)}$

ステップ 2

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{7}{(x + 2) (x + 3)}$

ステップ 3

$\frac{7}{(x + 2) (x + 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{7}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 2) {(x + 3)}^{2}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{6 x}{{(x + 3)}^{2}}$ に $\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7}{(x + 2) (x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

ステップ 4.2

$\frac{7}{(x + 2) (x + 3)}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) (x + 3) (x + 3)}$

ステップ 4.3

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) ({(x + 3)}^{1} (x + 3))}$

ステップ 4.4

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1})}$

ステップ 4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) {(x + 3)}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{(x + 2) {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.7

$(x + 2) {(x + 3)}^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{6 x (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)} + \frac{7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 x (x + 2) + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 x \cdot x + 6 x \cdot 2 + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 2 + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} + 6 x \cdot 2 + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.3

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 7 (x + 3)}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 7 x + 7 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.5

$7$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{2} + 12 x + 7 x + 21}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

ステップ 6.6

$12 x$ と $7 x$ をたし算します。

$\frac{6 x^{2} + 19 x + 21}{{(x + 3)}^{2} (x + 2)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例