微分積分学準備例

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$ , $\tan (θ) < 0$

ステップ 1

正切関数は第二象限と第四象限で負です。余弦関数は第一象限と第四象限で正です。 $θ$ の解の集合は、両集合で求めた唯一の象限なので、第四象限に制限されます。

解は第四象限にあります。

ステップ 2

余弦の定義を利用して単位円直角三角形の既知の辺を求めます。象限は、それぞれの値の符号を決定します。

$\cos (θ) = \frac{隣接}{斜辺}$

ステップ 3

単位円の三角形の対辺を求めます。隣接辺と斜辺が分かっているので、ピタゴラスの定理を利用して残りの辺を求めます。

$反対 = - \sqrt{{斜辺}^{2} - {隣接}^{2}}$

ステップ 4

方程式の既知数を置き換えます。

$反対 = - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5

根の内側を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$ を否定します。

対辺 $= - \sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.2

$3$ を $2$ 乗します。

対辺 $= - \sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

ステップ 5.3

$2$ を $2$ 乗します。

対辺 $= - \sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

ステップ 5.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

対辺 $= - \sqrt{9 - 4}$

ステップ 5.5

$9$ から $4$ を引きます。

対辺 $= - \sqrt{5}$

ステップ 6

正弦の値を求めます。

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ステップ 6.1

正弦の定義を利用して $\sin (θ)$ の値を求めます。

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

ステップ 6.2

既知数に代入します。

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{3}$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ 7

正切の値を求めます。

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ステップ 7.1

正接の定義を利用して $\tan (θ)$ の値を求めます。

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

ステップ 7.2

既知数に代入します。

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{2}$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

ステップ 8

余接の値を求めます。

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ステップ 8.1

余接の定義を利用して $\cot (θ)$ の値を求めます。

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

ステップ 8.2

既知数に代入します。

$\cot (θ) = \frac{2}{- \sqrt{5}}$

ステップ 8.3

$\cot (θ)$ の値を簡約します。

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ステップ 8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cot (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\cot (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

ステップ 8.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 8.3.3.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.3.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.3.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 8.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 8.3.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 8.3.3.6.5

指数を求めます。

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 9

正割の値を求めます。

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ステップ 9.1

正割の定義を利用して $\sec (θ)$ の値を求めます。

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

ステップ 9.2

既知数に代入します。

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

ステップ 10

余割の値を求めます。

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ステップ 10.1

余割の定義を利用して $\csc (θ)$ の値を求めます。

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

ステップ 10.2

既知数に代入します。

$\csc (θ) = \frac{3}{- \sqrt{5}}$

ステップ 10.3

$\csc (θ)$ の値を簡約します。

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ステップ 10.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\csc (θ) = - \frac{3}{\sqrt{5}}$

ステップ 10.3.2

$\frac{3}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\csc (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

ステップ 10.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 10.3.3.1

$\frac{3}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 10.3.3.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 10.3.3.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 10.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 10.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 10.3.3.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 10.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 10.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 10.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 10.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 10.3.3.6.5

指数を求めます。

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 11

各三角関数の値の解です。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos (θ) = \frac{2}{3}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{3}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

微分積分学準備 例

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