微分積分学準備例

$z^{4} = 81 i$

ステップ 1

$u$ を $z^{4}$ に代入します。

$u^{4} = 81 i$

ステップ 2

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 3

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4

$a = 0$ と $b = 81$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{81^{2}}$

ステップ 5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 81$

ステップ 6

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{81}{0})$

ステップ 7

偏角が未定義で $b$ が正なので、複素平面上の点の角は $\frac{π}{2}$ です。

$θ = \frac{π}{2}$

ステップ 8

$θ = \frac{π}{2}$ と $| z | = 81$ の値を代入します。

$81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 9

方程式の右辺を三角公式で置き換えます。

$u^{4} = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 10

ドモアブルの定理を利用して方程式の $u$ を求めます。

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = 81 i = 81 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 11

三角形の係数を $r^{4}$ と等しくし、 $r$ の値を求めます。

$r^{4} = 81$

ステップ 12

$r$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{81}$

ステップ 12.2

$\pm \sqrt[4]{81}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$81$ を $3^{4}$ に書き換えます。

$r = \pm \sqrt[4]{3^{4}}$

ステップ 12.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm 3$

ステップ 12.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = 3$

ステップ 12.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - 3$

ステップ 12.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = 3, - 3$

ステップ 13

$r$ の近似値を求めます。

$r = 3$

ステップ 14

$θ$ の可能な値を求めます。

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ と $s i n (4 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

ステップ 15

$θ$ のすべての可能な値を求めることで方程式 $4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ を導きます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

ステップ 16

$r = 0$ の $θ$ の値を求めます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

ステップ 17

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$2 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

ステップ 17.1.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 0$

ステップ 17.1.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$4 θ = \frac{π}{2}$

ステップ 17.2

$4 θ = \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$4 θ = \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 17.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 17.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 17.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 17.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$θ = \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 17.2.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$θ = \frac{π}{8}$

ステップ 18

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{4} = 81 i$ の解を求めます。

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{π}{8}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

$\cos (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$u_{0} = 3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$u_{0} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.3

余弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.5

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.5.2

公分母の分子をまとめます。

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.5.4

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1.5.4.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.5.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{0} = 3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.5.5

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.5.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1.5.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.1.5.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{π}{8}))$

ステップ 19.1.2

$\sin (\frac{π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{π}{8}$ を書き直します。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}))$

ステップ 19.1.2.2

制限半角の公式を当てはめます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

ステップ 19.1.2.3

正弦が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

ステップ 19.1.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.2.4.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 19.1.2.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 19.1.2.4.3

公分母の分子をまとめます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 19.1.2.4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

ステップ 19.1.2.4.5

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.2.4.5.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

ステップ 19.1.2.4.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})$

ステップ 19.1.2.4.6

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

ステップ 19.1.2.4.7

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.2.4.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

ステップ 19.1.2.4.7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

ステップ 19.1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ をまとめます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 19.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

公分母の分子をまとめます。

$u_{0} = 3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 19.2.2

$3$ と $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ をまとめます。

$u_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 20

$z^{4}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{0} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 21

$r = 1$ の $θ$ の値を求めます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

ステップ 22

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 22.1.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 22.1.3

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

ステップ 22.1.4

公分母の分子をまとめます。

$4 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

ステップ 22.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$4 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

ステップ 22.1.6

$π$ と $4 π$ をたし算します。

$4 θ = \frac{5 π}{2}$

ステップ 22.2

$4 θ = \frac{5 π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1

$4 θ = \frac{5 π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

ステップ 22.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

ステップ 22.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{4}$

ステップ 22.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 22.2.3.2

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.3.2.1

$\frac{5 π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 4}$

ステップ 22.2.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$θ = \frac{5 π}{8}$

ステップ 23

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{4} = 81 i$ の解を求めます。

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{5 π}{8}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1

$\cos (\frac{5 π}{8})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{5 π}{8}$ を書き直します。

$u_{1} = 3 (\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$u_{1} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.3

余弦が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.6

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{1} = 3 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.1.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{8}))$

ステップ 24.1.2

$\sin (\frac{5 π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{5 π}{8}$ を書き直します。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

ステップ 24.1.2.2

制限半角の公式を当てはめます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

ステップ 24.1.2.3

正弦が第二象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

ステップ 24.1.2.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.2.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

ステップ 24.1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 24.1.2.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.2.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})$

ステップ 24.1.2.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 24.1.2.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 24.1.2.4.5

公分母の分子をまとめます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

ステップ 24.1.2.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

ステップ 24.1.2.4.7

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.2.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

ステップ 24.1.2.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

ステップ 24.1.2.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

ステップ 24.1.2.4.9

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.2.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

ステップ 24.1.2.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

ステップ 24.1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = 3 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 24.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1

公分母の分子をまとめます。

$u_{1} = 3 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 24.2.2

$3$ と $\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ をまとめます。

$u_{1} = \frac{3 (- \sqrt{2 - \sqrt{2}} + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 24.2.3

$- 1$ を $- \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ で因数分解します。

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) + i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 24.2.4

$- 1$ を $i \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ で因数分解します。

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

ステップ 24.2.5

$- 1$ を $- (\sqrt{2 - \sqrt{2}}) - (- i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ で因数分解します。

$u_{1} = \frac{3 (- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

ステップ 24.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.6.1

$- (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ を $- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})$ に書き換えます。

$u_{1} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}))}{2}$

ステップ 24.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$u_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 25

$z^{4}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{1} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 26

$r = 2$ の $θ$ の値を求めます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

ステップ 27

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

ステップ 27.1.2

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 27.1.3

$4 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

ステップ 27.1.4

公分母の分子をまとめます。

$4 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

ステップ 27.1.5

$2$ に $4$ をかけます。

$4 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

ステップ 27.1.6

$π$ と $8 π$ をたし算します。

$4 θ = \frac{9 π}{2}$

ステップ 27.2

$4 θ = \frac{9 π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1

$4 θ = \frac{9 π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

ステップ 27.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

ステップ 27.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{4}$

ステップ 27.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 27.2.3.2

$\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.3.2.1

$\frac{9 π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$θ = \frac{9 π}{2 \cdot 4}$

ステップ 27.2.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$θ = \frac{9 π}{8}$

ステップ 28

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{4} = 81 i$ の解を求めます。

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{9 π}{8}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.1

$\cos (\frac{9 π}{8})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{9 π}{8}$ を書き直します。

$u_{2} = 3 (\cos (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$u_{2} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.3

余弦が第三象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.1.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.6

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.1.4.6.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{2} = 3 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.7

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.1.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.1.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{8}))$

ステップ 29.1.2

$\sin (\frac{9 π}{8})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{9 π}{8}$ を書き直します。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}))$

ステップ 29.1.2.2

制限半角の公式を当てはめます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

ステップ 29.1.2.3

正弦が第三象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}))$

ステップ 29.1.2.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.2.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

ステップ 29.1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

ステップ 29.1.2.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

ステップ 29.1.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

ステップ 29.1.2.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

ステップ 29.1.2.4.6

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.2.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

ステップ 29.1.2.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}))$

ステップ 29.1.2.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

ステップ 29.1.2.4.8

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1.2.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

ステップ 29.1.2.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}))$

ステップ 29.1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ をまとめます。

$u_{2} = 3 (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 29.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.1

公分母の分子をまとめます。

$u_{2} = 3 (\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 29.2.2

$3$ と $\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ をまとめます。

$u_{2} = \frac{3 (- \sqrt{2 + \sqrt{2}} - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 29.2.3

$- 1$ を $- \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ で因数分解します。

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 29.2.4

$- 1$ を $- i \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ で因数分解します。

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

ステップ 29.2.5

$- 1$ を $- (\sqrt{2 + \sqrt{2}}) - (i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ で因数分解します。

$u_{2} = \frac{3 (- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

ステップ 29.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.6.1

$- (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ を $- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})$ に書き換えます。

$u_{2} = \frac{3 (- 1 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}}))}{2}$

ステップ 29.2.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$u_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 30

$z^{4}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{2} = 0 - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 31

$r = 3$ の $θ$ の値を求めます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 2 π (3)$

ステップ 32

$θ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π$

ステップ 32.1.2

$6 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 θ = \frac{π}{2} + 6 π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 32.1.3

$6 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 θ = \frac{π}{2} + \frac{6 π \cdot 2}{2}$

ステップ 32.1.4

公分母の分子をまとめます。

$4 θ = \frac{π + 6 π \cdot 2}{2}$

ステップ 32.1.5

$2$ に $6$ をかけます。

$4 θ = \frac{π + 12 π}{2}$

ステップ 32.1.6

$π$ と $12 π$ をたし算します。

$4 θ = \frac{13 π}{2}$

ステップ 32.2

$4 θ = \frac{13 π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.1

$4 θ = \frac{13 π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

ステップ 32.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

ステップ 32.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{\frac{13 π}{2}}{4}$

ステップ 32.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 32.2.3.2

$\frac{13 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 32.2.3.2.1

$\frac{13 π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$θ = \frac{13 π}{2 \cdot 4}$

ステップ 32.2.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$θ = \frac{13 π}{8}$

ステップ 33

$θ$ 、および $r$ の値を利用して、方程式 $u^{4} = 81 i$ の解を求めます。

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{13 π}{8}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34

解を直交形式に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.1

$\cos (\frac{13 π}{8})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{13 π}{8}$ を書き直します。

$u_{3} = 3 (\cos (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}) + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$u_{3} = 3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.3

余弦が第四象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.1.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.7

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.1.4.7.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{3} = 3 (\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.8

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.9

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.1.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.1.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{13 π}{8}))$

ステップ 34.1.2

$\sin (\frac{13 π}{8})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.2.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{13 π}{8}$ を書き直します。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i \sin (\frac{\frac{13 π}{4}}{2}))$

ステップ 34.1.2.2

制限半角の公式を当てはめます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

ステップ 34.1.2.3

正弦が第四象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{13 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.2.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4.3

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4.4

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1.2.4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4.4.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4.6

公分母の分子をまとめます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}))$

ステップ 34.1.2.4.8

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 34.1.2.4.8.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}))$

ステップ 34.1.2.4.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}))$

ステップ 34.1.2.4.9

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}))$

ステップ 34.1.2.4.10

分母を簡約します。

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ステップ 34.1.2.4.10.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}))$

ステップ 34.1.2.4.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}))$

ステップ 34.1.3

$i$ と $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ をまとめます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 34.2

分数をまとめます。

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ステップ 34.2.1

公分母の分子をまとめます。

$u_{3} = 3 (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

ステップ 34.2.2

$3$ と $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ をまとめます。

$u_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 35

$z^{4}$ を $u$ に代入し、右方移動し他後に $z$ の値を計算します。

$z_{3} = 0 + \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

ステップ 36

$u^{4} = 81 i$ の複素解です。

$z_{0} = \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{1} = - \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

$z_{2} = - \frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + i \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$

$z_{3} = \frac{3 (\sqrt{2 - \sqrt{2}} - i \sqrt{2 + \sqrt{2}})}{2}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例