微分積分学準備例

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$

ステップ 1.2

$- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{5}{2}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = - \frac{5}{2}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 2$ を $2$ で割ります。

$d = \frac{3}{- 1}$

ステップ 1.2.3.2.3

$3$ を $- 1$ で割ります。

$d = - 3$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - \frac{5}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$- 4$ を $2$ で割ります。

$e = - \frac{5}{2} - \frac{9}{- 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{5}{2} - - \frac{9}{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$- - \frac{9}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e = - \frac{5}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

ステップ 1.2.4.2.1.5.2

$\frac{9}{2}$ に $1$ をかけます。

$e = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 5 + 9}{2}$

ステップ 1.2.4.2.3

$- 5$ と $9$ をたし算します。

$e = \frac{4}{2}$

ステップ 1.2.4.2.4

$4$ を $2$ で割ります。

$e = 2$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$ に代入します。

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 2$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 2$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 2$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(3, 2)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

ステップ 5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

ステップ 5.3.3

$4$ を $2$ で割ります。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(3, \frac{3}{2})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 3$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例