微分積分学準備例

$r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$

ステップ 1

$r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$ の各項を $\cos^{3} (θ)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$r^{2} \cos^{3} (θ) = \sin (θ)$ の各項を $\cos^{3} (θ)$ で割ります。

$\frac{r^{2} \cos^{3} (θ)}{\cos^{3} (θ)} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\cos^{3} (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{r^{2} \cos^{3} (θ)}{\cos^{3} (θ)} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

ステップ 1.2.1.2

$r^{2}$ を $1$ で割ります。

$r^{2} = \frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$

ステップ 2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}$ を ${(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ に書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$\sin (θ)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{3} (θ)}}$

ステップ 3.1.2

$\cos^{3} (θ)$ から完全累乗 $\cos^{2} (θ)$ を因数分解します。

$r = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}}$

ステップ 3.1.3

分数 $\frac{1^{2} \sin (θ)}{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}$ を並べ替えます。

$r = \pm \sqrt{{(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

ステップ 3.3

$\sqrt{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$ を $\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$

ステップ 3.4

$\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ に $\frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ をかけます。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} (\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}} \cdot \frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}})$

ステップ 3.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.1

$\frac{\sqrt{\sin (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ に $\frac{\sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)}}$ をかけます。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\sqrt{\cos (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}$

ステップ 3.5.2

$\sqrt{\cos (θ)}$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1} \sqrt{\cos (θ)}}$

ステップ 3.5.3

$\sqrt{\cos (θ)}$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1} {\sqrt{\cos (θ)}}^{1}}$

ステップ 3.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\sqrt{\cos (θ)}}^{2}}$

ステップ 3.5.6

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2}$ を $\cos (θ)$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\cos (θ)}$ を ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.6.4.2

式を書き換えます。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\cos^{1} (θ)}$

ステップ 3.5.6.5

簡約します。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ)} \sqrt{\cos (θ)}}{\cos (θ)}$

ステップ 3.6

根の積の法則を使ってまとめます。

$r = \pm \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$

ステップ 3.7

$\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$ を掛けます。

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ステップ 3.7.1

$\frac{1}{\cos (θ)}$ に $\frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ)}$ をかけます。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

ステップ 3.7.2

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

ステップ 3.7.3

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

ステップ 3.7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

ステップ 3.7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$r = \pm \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

$r = - \frac{\sqrt{\sin (θ) \cos (θ)}}{\cos^{2} (θ)}$

微分積分学準備 例

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