微分積分学準備例

$\frac{x + 3}{x - 5} \leq 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 3 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 4

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 3$

$x = 5$

ステップ 5

解をまとめます。

$x = - 3, 5$

ステップ 6

$\frac{x + 3}{x - 5}$ の定義域を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{x + 3}{x - 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 5 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 6.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 5} \leq 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $0.\overline{27}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.2

区間 $- 3 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- 3 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 3}{(0) - 5} \leq 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 0.6$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.3

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{(8) + 3}{(8) - 5} \leq 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $3.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x < 5$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$[- 3, 5)$

ステップ 11

微分積分学準備 例

微分積分学準備例