微分積分学準備例

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(5) \sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} i$

ステップ 1.2

$\frac{5}{2}$ と $i$ をまとめます。

$- \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2}$

ステップ 2

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 3

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 4

$a = - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ と $b = \frac{5}{2}$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5

$| z |$ を求めます。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

$5$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.4

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.4.1

積の法則を $- \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

積の法則を $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 5.4.3

積の法則を $5 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 5.5

式を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + 1 (\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

ステップ 5.5.2

$\frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$5$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.6.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 5.6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.6.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.6.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 5.6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.4.1

共通因数を約分します。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

ステップ 5.6.2.4.2

式を書き換えます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

ステップ 5.6.2.5

指数を求めます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{2^{2}}}$

ステップ 5.7

式を簡約します。

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ステップ 5.7.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 3}{4}}$

ステップ 5.7.2

$25$ に $3$ をかけます。

$| z | = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{75}{4}}$

ステップ 5.7.3

公分母の分子をまとめます。

$| z | = \sqrt{\frac{25 + 75}{4}}$

ステップ 5.7.4

$25$ と $75$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{\frac{100}{4}}$

ステップ 5.7.5

$100$ を $4$ で割ります。

$| z | = \sqrt{25}$

ステップ 5.7.6

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

ステップ 5.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 5$

ステップ 6

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}})$

ステップ 7

$\frac{\frac{5}{2}}{- \frac{5 \sqrt{3}}{2}}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $\frac{5 π}{6}$ です。

$θ = \frac{5 π}{6}$

ステップ 8

$θ = \frac{5 π}{6}$ と $| z | = 5$ の値を代入します。

$5 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

微分積分学準備 例

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