微分積分学準備例

${(4 + 4 i)}^{5}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$4^{5} + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$4$ を $5$ 乗します。

$1024 + 5 \cdot 4^{4} (4 i) + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.2

指数を足して $4^{4}$ に $4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$4$ を移動させます。

$1024 + 5 \cdot (4 \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.2.2

$4$ に $4^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$4$ を $1$ 乗します。

$1024 + 5 \cdot (4^{1} \cdot 4^{4}) i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1024 + 5 \cdot 4^{1 + 4} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$1024 + 5 \cdot 4^{5} i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.3

$4$ を $5$ 乗します。

$1024 + 5 \cdot 1024 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.4

$5$ に $1024$ をかけます。

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.5

$4$ を $3$ 乗します。

$1024 + 5120 i + 10 \cdot 64 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.6

$10$ に $64$ をかけます。

$1024 + 5120 i + 640 {(4 i)}^{2} + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.7

積の法則を $4 i$ に当てはめます。

$1024 + 5120 i + 640 (4^{2} i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.8

$4$ を $2$ 乗します。

$1024 + 5120 i + 640 (16 i^{2}) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.9

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1024 + 5120 i + 640 (16 \cdot - 1) + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.10

$640 (16 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

$16$ に $- 1$ をかけます。

$1024 + 5120 i + 640 \cdot - 16 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.10.2

$640$ に $- 16$ をかけます。

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.11

$4$ を $2$ 乗します。

$1024 + 5120 i - 10240 + 10 \cdot 16 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.12

$10$ に $16$ をかけます。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 {(4 i)}^{3} + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.13

積の法則を $4 i$ に当てはめます。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (4^{3} i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.14

$4$ を $3$ 乗します。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 i^{3}) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.15

$i^{2}$ を因数分解します。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.16

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.17

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (64 (- i)) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.18

$- 1$ に $64$ をかけます。

$1024 + 5120 i - 10240 + 160 (- 64 i) + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.19

$- 64$ に $160$ をかけます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5 \cdot 4 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.20

$5$ に $4$ をかけます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 {(4 i)}^{4} + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.21

積の法則を $4 i$ に当てはめます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (4^{4} i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.22

$4$ を $4$ 乗します。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 i^{4}) + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.23

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.23.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(i^{2})}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.23.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 {(- 1)}^{2}) + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.23.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 (256 \cdot 1) + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.24

$20 (256 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.24.1

$256$ に $1$ をかけます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 20 \cdot 256 + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.24.2

$20$ に $256$ をかけます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + {(4 i)}^{5}$

ステップ 2.1.25

積の法則を $4 i$ に当てはめます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 4^{5} i^{5}$

ステップ 2.1.26

$4$ を $5$ 乗します。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i^{5}$

ステップ 2.1.27

$i^{4}$ を因数分解します。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (i^{4} i)$

ステップ 2.1.28

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.28.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(i^{2})}^{2} i)$

ステップ 2.1.28.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 ({(- 1)}^{2} i)$

ステップ 2.1.28.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 (1 i)$

ステップ 2.1.29

$i$ に $1$ をかけます。

$1024 + 5120 i - 10240 - 10240 i + 5120 + 1024 i$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 2.2.1

$1024$ から $10240$ を引きます。

$- 9216 + 5120 i - 10240 i + 5120 + 1024 i$

ステップ 2.2.2

$- 9216$ と $5120$ をたし算します。

$- 4096 + 5120 i - 10240 i + 1024 i$

ステップ 2.2.3

$5120 i$ から $10240 i$ を引きます。

$- 4096 - 5120 i + 1024 i$

ステップ 2.2.4

$- 5120 i$ と $1024 i$ をたし算します。

$- 4096 - 4096 i$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 4096$ と $b = - 4096$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{{(- 4096)}^{2} + {(- 4096)}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

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ステップ 6.1

$- 4096$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{16777216 + {(- 4096)}^{2}}$

ステップ 6.2

$- 4096$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{16777216 + 16777216}$

ステップ 6.3

$16777216$ と $16777216$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{33554432}$

ステップ 6.4

$33554432$ を $4096^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.1

$16777216$ を $33554432$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{16777216 (2)}$

ステップ 6.4.2

$16777216$ を $4096^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{4096^{2} \cdot 2}$

ステップ 6.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 4096 \sqrt{2}$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{- 4096}{- 4096})$

ステップ 8

$\frac{- 4096}{- 4096}$ の逆正接が第三象限で角を作るので、角の値は $\frac{5 π}{4}$ です。

$θ = \frac{5 π}{4}$

ステップ 9

$θ = \frac{5 π}{4}$ と $| z | = 4096 \sqrt{2}$ の値を代入します。

$4096 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$

微分積分学準備 例

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