微分積分学準備例

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

ステップ 2

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

ステップ 3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \cos (θ)$ です。

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

ステップ 3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

ステップ 4

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ を $\sec^{2} (θ)$ に書き換えます。

$\sec^{2} (θ)$

ステップ 5

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$ は公式です

微分積分学準備 例