微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{5} - 3 x^{4} - 13 x^{3} + 18 x^{2} - 17 x + 12}{x - 5}$ が未定義である場所を求めます。

$x = 5$

ステップ 2

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 3

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 5$

$m = 1$

ステップ 4

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

ステップ 5.2

被除数 $x^{5}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{4}$
	$x$	-	$5$		$x^{5}$	-	$3 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	-	$17 x$	+	$12$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{5} - 5 x^{4}$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

ステップ 5.7

被除数 $2 x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{4} - 10 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

ステップ 5.12

被除数 $- 3 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{3} + 15 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

ステップ 5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

ステップ 5.17

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

ステップ 5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

ステップ 5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} - 15 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

ステップ 5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

ステップ 5.21

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

ステップ 5.22

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

ステップ 5.23

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

ステップ 5.24

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x + 10$ の符号をすべて変更します。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

ステップ 5.25

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

$x$

$5$

$x^{5}$

$3 x^{4}$

$13 x^{3}$

$18 x^{2}$

$17 x$

$12$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$2 x^{4}$

$10 x^{3}$

$3 x^{3}$

$18 x^{2}$

$3 x^{3}$

$15 x^{2}$

$3 x^{2}$

$17 x$

$3 x^{2}$

$15 x$

$2 x$

$12$

$2 x$

$10$

$2$

ステップ 5.26

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{2}{x - 5}$

ステップ 5.27

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = 5$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例