微分積分学準備例

$\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} ((a - 2) (a - 2)) = 2$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(a - 2) (a - 2)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (a (a - 2) - 2 (a - 2)) = 2$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 (a - 2)) = 2$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$a$ に $a$ をかけます。

$\log_{3} (a^{2} + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

ステップ 1.3.1.2

$- 2$ を $a$ の左に移動させます。

$\log_{3} (a^{2} - 2 \cdot a - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

ステップ 1.3.1.3

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\log_{3} (a^{2} - 2 a - 2 a + 4) = 2$

ステップ 1.3.2

$- 2 a$ から $2 a$ を引きます。

$\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{2} = a^{2} - 4 a + 4$

ステップ 3

$a$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$ として書き換えます。

$a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$

ステップ 3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$a^{2} - 4 a + 4 = 9$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$a^{2} - 4 a + 4 - 9 = 0$

ステップ 3.4

$4$ から $9$ を引きます。

$a^{2} - 4 a - 5 = 0$

ステップ 3.5

たすき掛けを利用して $a^{2} - 4 a - 5$ を因数分解します。

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ステップ 3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 5$ で、その和が $- 4$ です。

$- 5, 1$

ステップ 3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(a - 5) (a + 1) = 0$

ステップ 3.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$a - 5 = 0$

$a + 1 = 0$

ステップ 3.7

$a - 5$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$a - 5$ が $0$ に等しいとします。

$a - 5 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$a = 5$

ステップ 3.8

$a + 1$ を $0$ に等しくし、 $a$ を解きます。

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ステップ 3.8.1

$a + 1$ が $0$ に等しいとします。

$a + 1 = 0$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$a = - 1$

ステップ 3.9

最終解は $(a - 5) (a + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$a = 5, - 1$

ステップ 4

$\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$ が真にならない解を除外します。

$a = 5$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例