微分積分学準備例

${(z^{2} + 8 z)}^{2} + 23 (z^{2} + 8 z) + 112 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = z^{2} + 8 z$ とします。 $u$ を $z^{2} + 8 z$ に代入します。

$u^{2} + 23 u + 112 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $u^{2} + 23 u + 112$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $112$ で、その和が $23$ です。

$7, 16$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u + 7) (u + 16) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $z^{2} + 8 z$ で置き換えます。

$(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

ステップ 3

$z^{2} + 8 z + 7$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 3.1

$z^{2} + 8 z + 7$ が $0$ に等しいとします。

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

ステップ 3.2

$z$ について $z^{2} + 8 z + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

たすき掛けを利用して $z^{2} + 8 z + 7$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $7$ で、その和が $8$ です。

$1, 7$

ステップ 3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(z + 1) (z + 7) = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$z + 1 = 0$

$z + 7 = 0$

ステップ 3.2.3

$z + 1$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 3.2.3.1

$z + 1$ が $0$ に等しいとします。

$z + 1 = 0$

ステップ 3.2.3.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$z = - 1$

ステップ 3.2.4

$z + 7$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 3.2.4.1

$z + 7$ が $0$ に等しいとします。

$z + 7 = 0$

ステップ 3.2.4.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$z = - 7$

ステップ 3.2.5

最終解は $(z + 1) (z + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$z = - 1, - 7$

ステップ 4

$z^{2} + 8 z + 16$ を $0$ に等しくし、 $z$ を解きます。

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ステップ 4.1

$z^{2} + 8 z + 16$ が $0$ に等しいとします。

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

ステップ 4.2

$z$ について $z^{2} + 8 z + 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$z^{2} + 8 z + 4^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

ステップ 4.2.1.3

多項式を書き換えます。

$z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.4

$a = z$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(z + 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

$z + 4$ が $0$ に等しいとします。

$z + 4 = 0$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$z = - 4$

ステップ 5

最終解は $(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$z = - 1, - 7, - 4$

微分積分学準備 例

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