微分積分学準備例

$x^{2} + 10 x y + y^{2} - 8 = 0$

ステップ 1

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2

$a = 1$ 、 $b = 10 x$ 、および $c = x^{2} - 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 10 x \pm \sqrt{{(10 x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

括弧を付けます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(10 x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.2

$u = 1 \cdot (x^{2} - 8)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} - 8)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

積の法則を $10 x$ に当てはめます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{10^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.2.2

$10$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{100 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3

$4$ を $100 x^{2} - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.1

$4$ を $100 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.3.3

$4$ を $4 (25 x^{2}) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.4

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} - 8)$ で置き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - (1 \cdot (x^{2} - 8)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.5.1.1

$x^{2} - 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - (x^{2} - 8))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.5.1.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.5.2

$25 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (24 x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6

$8$ を $24 x^{2} + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.6.1

$8$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2}) + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6.2

$8$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2}) + 8 (1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.6.3

$8$ を $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 \cdot (8 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.7

$4$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{32 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.8

$32 (3 x^{2} + 1)$ を ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.8.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{16 (2) (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.8.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.8.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.8.4

括弧を付けます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 10 x \pm 2^{2} \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2}$

ステップ 1.3.3

$\frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 5 x \pm 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

ステップ 1.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

括弧を付けます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(10 x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2

$u = 1 \cdot (x^{2} - 8)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} - 8)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

積の法則を $10 x$ に当てはめます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{10^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.2.2

$10$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{100 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3

$4$ を $100 x^{2} - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.3.1

$4$ を $100 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.3.3

$4$ を $4 (25 x^{2}) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.4

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} - 8)$ で置き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - (1 \cdot (x^{2} - 8)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.5.1.1

$x^{2} - 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - (x^{2} - 8))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5.1.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.5.2

$25 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (24 x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6

$8$ を $24 x^{2} + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.6.1

$8$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2}) + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6.2

$8$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2}) + 8 (1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.6.3

$8$ を $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 \cdot (8 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.7

$4$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{32 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.8

$32 (3 x^{2} + 1)$ を ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.8.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{16 (2) (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.8.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.8.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.8.4

括弧を付けます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 10 x \pm 2^{2} \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2}$

ステップ 1.4.3

$\frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 5 x \pm 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

ステップ 1.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = - 5 x + 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

ステップ 1.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

括弧を付けます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(10 x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.2

$u = 1 \cdot (x^{2} - 8)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} - 8)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.2.1

積の法則を $10 x$ に当てはめます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{10^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.2.2

$10$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{100 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3

$4$ を $100 x^{2} - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.3.1

$4$ を $100 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.3.3

$4$ を $4 (25 x^{2}) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.4

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} - 8)$ で置き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - (1 \cdot (x^{2} - 8)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.5.1.1

$x^{2} - 8$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - (x^{2} - 8))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5.1.3

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (25 x^{2} - x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.5.2

$25 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (24 x^{2} + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6

$8$ を $24 x^{2} + 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.6.1

$8$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2}) + 8)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6.2

$8$ を $8$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2}) + 8 (1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.6.3

$8$ を $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 (8 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4 \cdot (8 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.7

$4$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{32 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.8

$32 (3 x^{2} + 1)$ を ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.8.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{16 (2) (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.8.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.8.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.8.4

括弧を付けます。

$y = \frac{- 10 x \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (3 x^{2} + 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 10 x \pm 2^{2} \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.1.10

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2}$

ステップ 1.5.3

$\frac{- 10 x \pm 4 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}}{2}$ を簡約します。

$y = - 5 x \pm 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

ステップ 1.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = - 5 x - 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

ステップ 1.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - 5 x + 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

$y = - 5 x - 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

$y = - 5 x + 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

$y = - 5 x - 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

ステップ 2

多項式を標準形で書くために、簡約し、項を降順に並べます。

$y = a x^{2} + b x + c$

ステップ 3

標準形は $- 5 x + 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}, - 5 x - 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$ です。

$y = - 5 x + 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

$y = - 5 x - 2 \sqrt{2 (3 x^{2} + 1)}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例