微分積分学準備例

$x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y + 56.5 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $56.5$ を引きます。

$x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$

ステップ 2

$x^{2} + x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{1}{2}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1}{4}$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{4}$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ に代入します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 3

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ を方程式 $x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$ の中の $x^{2} + x$ に代入します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + 5 y^{2} - 35 y = - 56.5$

ステップ 4

両辺に $\frac{1}{4}$ を加えて、 $- \frac{1}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 y^{2} - 35 y = - 56.5 + \frac{1}{4}$

ステップ 5

$5 y^{2} - 35 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 5$

$b = - 35$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 35}{2 \cdot 5}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$- 35$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$5$ を $- 35$ で因数分解します。

$d = \frac{5 \cdot - 7}{2 \cdot 5}$

ステップ 5.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$5$ を $2 \cdot 5$ で因数分解します。

$d = \frac{5 \cdot - 7}{5 \cdot 2}$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{5 \cdot - 7}{5 \cdot 2}$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 7}{2}$

ステップ 5.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{7}{2}$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 35)}^{2}}{4 \cdot 5}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$- 35$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1225}{4 \cdot 5}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $5$ をかけます。

$e = 0 - \frac{1225}{20}$

ステップ 5.4.2.1.3

$1225$ と $20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.3.1

$5$ を $1225$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{5 (245)}{20}$

ステップ 5.4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.3.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{5 \cdot 245}{5 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{5 \cdot 245}{5 \cdot 4}$

ステップ 5.4.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{245}{4}$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $\frac{245}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{245}{4}$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$ に代入します。

$5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$

ステップ 6

$5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4}$ を方程式 $x^{2} + 5 y^{2} + x - 35 y = - 56.5$ の中の $5 y^{2} - 35 y$ に代入します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{245}{4} = - 56.5 + \frac{1}{4}$

ステップ 7

両辺に $\frac{245}{4}$ を加えて、 $- \frac{245}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{1}{4} + \frac{245}{4}$

ステップ 8

$- 56.5 + \frac{1}{4} + \frac{245}{4}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{1 + 245}{4}$

ステップ 8.2

$1$ と $245$ をたし算します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{246}{4}$

ステップ 8.3

$246$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $246$ で因数分解します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 (123)}{4}$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 \cdot 123}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{2 \cdot 123}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.3

式を書き換えます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 + \frac{123}{2}$

ステップ 8.4

$- 56.5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = - 56.5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{123}{2}$

ステップ 8.5

$- 56.5$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 56.5 \cdot 2}{2} + \frac{123}{2}$

ステップ 8.6

公分母の分子をまとめます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 56.5 \cdot 2 + 123}{2}$

ステップ 8.7

分子を簡約します。

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ステップ 8.7.1

$- 56.5$ に $2$ をかけます。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{- 113 + 123}{2}$

ステップ 8.7.2

$- 113$ と $123$ をたし算します。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{10}{2}$

ステップ 8.8

$10$ を $2$ で割ります。

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + 5 {(y - \frac{7}{2})}^{2} = 5$

ステップ 9

各項を $5$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{5 {(y - \frac{7}{2})}^{2}}{5} = \frac{5}{5}$

ステップ 10

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{0.2}} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = 1$

微分積分学準備 例

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