微分積分学準備例

$9 x^{2} + 9 y^{2} - 6 x + 24 y = 19$

ステップ 1

方程式の両辺を $9$ で割ります。

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

ステップ 2

$x^{2} - \frac{2 x}{3}$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 1$ と $1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2.1.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

ステップ 2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.3.3

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.3.2.3.4

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{3}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.1.3

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.1.6

$\frac{4}{9}$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

ステップ 2.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 2.4.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 2.4.2.1.4.2

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{1}{9}$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $\frac{1}{9}$ を引きます。

$e = - \frac{1}{9}$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ に代入します。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

ステップ 3

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ の中の $x^{2} - \frac{2 x}{3}$ に代入します。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$

ステップ 4

両辺に $\frac{1}{9}$ を加えて、 $- \frac{1}{9}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

ステップ 5

$y^{2} + \frac{8 y}{3}$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = \frac{8}{3}$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

ステップ 5.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2.2.4

式を書き換えます。

$d = \frac{4}{3}$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{8}{3}$ に当てはめます。

$e = 0 - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.2

$8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{\frac{64}{9}}{4}$

ステップ 5.4.2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (\frac{64}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 5.4.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.4.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$e = 0 - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 5.4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 5.4.2.1.4.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{16}{9}$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $\frac{16}{9}$ を引きます。

$e = - \frac{16}{9}$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ に代入します。

${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$

ステップ 6

${(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - \frac{2 x}{3} + \frac{8 y}{3} = \frac{19}{9}$ の中の $y^{2} + \frac{8 y}{3}$ に代入します。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} - \frac{16}{9} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9}$

ステップ 7

両辺に $\frac{16}{9}$ を加えて、 $- \frac{16}{9}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$

ステップ 8

$\frac{19}{9} + \frac{1}{9} + \frac{16}{9}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{19 + 1 + 16}{9}$

ステップ 8.2

式を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$19$ と $1$ をたし算します。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{20 + 16}{9}$

ステップ 8.2.2

$20$ と $16$ をたし算します。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = \frac{36}{9}$

ステップ 8.2.3

$36$ を $9$ で割ります。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y + \frac{4}{3})}^{2} = 4$

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