微分積分学準備例

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺に $\frac{x^{2}}{25}$ を足します。

$\frac{y^{2}}{4} = 1 + \frac{x^{2}}{25}$

ステップ 2

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 4 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4 (1 + \frac{x^{2}}{25})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{25}$

ステップ 3.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 4 + 4 \frac{x^{2}}{25}$

ステップ 3.2.1.3

$4$ と $\frac{x^{2}}{25}$ をまとめます。

$y^{2} = 4 + \frac{4 x^{2}}{25}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 + \frac{4 x^{2}}{25}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{4 + \frac{4 x^{2}}{25}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{4 \cdot \frac{25}{25} + \frac{4 x^{2}}{25}}$

ステップ 5.2

$4$ と $\frac{25}{25}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 25}{25} + \frac{4 x^{2}}{25}}$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 25 + 4 x^{2}}{25}}$

ステップ 5.4

$4$ を $4 \cdot 25 + 4 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$4$ を $4 \cdot 25$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (25) + 4 x^{2}}{25}}$

ステップ 5.4.2

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (25) + 4 (x^{2})}{25}}$

ステップ 5.4.3

$4$ を $4 (25) + 4 (x^{2})$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (25 + x^{2})}{25}}$

ステップ 5.5

$\frac{4 (25 + x^{2})}{25}$ を ${(\frac{2}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 5.5.1

$4 (25 + x^{2})$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} (5^{2} + x^{2})}{25}}$

ステップ 5.5.2

$25$ から完全累乗 $5^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.5.3

分数 $\frac{2^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})}$

ステップ 5.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{2}{5} \sqrt{5^{2} + x^{2}}$

ステップ 5.7

$5$ を $2$ 乗します。

$y = \pm \frac{2}{5} \sqrt{25 + x^{2}}$

ステップ 5.8

$\frac{2}{5}$ と $\sqrt{25 + x^{2}}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{2 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{2 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{2 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = \frac{2 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

ステップ 7

$\sqrt{25 + x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$25 + x^{2} \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

不等式の両辺から $25$ を引きます。

$x^{2} \geq - 25$

ステップ 8.2

左辺に偶数乗があるので、実数は常に正です。

すべての実数

ステップ 9

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \leq - 2, y \geq 2}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

値域： $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {y | y \leq - 2, y \geq 2}$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例