微分積分学準備例

$\sqrt{3} \cos (2 x) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ に変換します。

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

ステップ 2

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ に変換します。

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

ステップ 3

方程式の両辺から $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ を引きます。

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 4

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 4.1.3

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1 = 0$

ステップ 4.1.3.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1 = 0$

ステップ 4.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 = 0$

ステップ 4.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x)$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

ステップ 5.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 5.1.2

最大公約数 $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

ステップ 5.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.3

$\cos (x) + \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\cos (x) + \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について $\cos (x) + \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.2.4

分数を分解します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 5.3.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 5.3.2.6

$0$ を $1$ で割ります。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 5.3.2.7

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 + \tan (x) = 0$

ステップ 5.3.2.8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 5.3.2.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 5.3.2.10

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.10.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 5.3.2.11

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 5.3.2.12

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.12.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 5.3.2.12.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.3.2.13

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.13.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.3.2.13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.3.2.13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.3.2.13.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.3.2.14

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.14.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 5.3.2.14.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.3.2.14.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.14.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.3.2.14.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.3.2.14.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.14.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 5.3.2.14.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 5.3.2.14.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.3.2.15

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.4

$\cos (x) - \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$\cos (x) - \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $\cos (x) - \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.4.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.4.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.4.2.3

分数を分解します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.4.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.4.2.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5.4.2.6

分数を分解します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 5.4.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 5.4.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 5.4.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 - \tan (x) = 0$

ステップ 5.4.2.10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \tan (x) = - 1$

ステップ 5.4.2.11

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.4.2.11.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.11.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.4.2.11.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.4.2.11.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.11.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 5.4.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 5.4.2.13

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.13.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 5.4.2.14

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 5.4.2.15

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.15.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.4.2.15.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.15.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.4.2.15.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 5.4.2.15.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.15.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 5.4.2.15.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 5.4.2.16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.4.2.16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.4.2.16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.4.2.16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.4.2.17

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.5

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺から $\sqrt{3}$ を引きます。

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 5.5.2.2

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.1

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

ステップ 5.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 5.5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 5.5.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{3}$

ステップ 5.5.2.6

$π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.5.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.6.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.5.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 5.5.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.6.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 5.5.2.6.3.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.5.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.5.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.6

最終解は $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ を $\frac{3 π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ を $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ にまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

微分積分学準備 例

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