微分積分学準備例

$\sqrt[3]{x} + 4$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \sqrt[3]{y} + 4$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\sqrt[3]{y} + 4 = x$ として書き換えます。

$\sqrt[3]{y} + 4 = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

ステップ 2.3

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2.4

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{y}$ を $y^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2.4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2.4.2.1.2

簡約します。

$y = {(x - 4)}^{3}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

${(x - 4)}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.1

二項定理を利用します。

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

ステップ 2.4.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

ステップ 2.4.3.1.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

ステップ 2.4.3.1.2.3

$16$ に $3$ をかけます。

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

ステップ 2.4.3.1.2.4

$- 4$ を $3$ 乗します。

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

ステップ 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ が $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

二項定理を利用します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

${\sqrt[3]{x}}^{3}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.1.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.1.5

簡約します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.2

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.4

$4$ を $2$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 16 + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.5

$16$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.2.6

$4$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.3

${(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2}$ を $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ((\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.4

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 4) + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.4.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.4.3

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1.1

$\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.5.1.1.1

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.5.1.1.2

$\sqrt[3]{x}$ を $1$ 乗します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.5.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.5.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.5.1.2

${\sqrt[3]{x}}^{2}$ を $\sqrt[3]{x^{2}}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.5.1.3

$4$ を $\sqrt[3]{x}$ の左に移動させます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \cdot \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.5.1.4

$4$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.5.2

$4 \sqrt[3]{x}$ と $4 \sqrt[3]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 8 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.6

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.7.1

$8$ に $- 12$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.7.2

$- 12$ に $16$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

ステップ 4.2.3.8

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 48 \cdot 4 - 64$

ステップ 4.2.3.9

$48$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

ステップ 4.2.4

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$12 \sqrt[3]{x^{2}}$ から $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0 + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

ステップ 4.2.4.1.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

ステップ 4.2.4.1.3

$- 192$ と $192$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 0 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

ステップ 4.2.4.1.4

$x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

ステップ 4.2.4.1.5

$64$ から $64$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

ステップ 4.2.4.1.6

$x + 48 \sqrt[3]{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

ステップ 4.2.4.2

$48 \sqrt[3]{x}$ から $96 \sqrt[3]{x}$ を引きます。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

ステップ 4.2.4.3

$x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

$- 48 \sqrt[3]{x}$ と $48 \sqrt[3]{x}$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0$

ステップ 4.2.4.3.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ の値を求めます。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

ステップ 4.3.3

括弧を削除します。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

ステップ 4.3.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

各項を2項式の定理の公式の項と一致させます。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}} + 4$

ステップ 4.3.4.2

2項式の定理を利用して $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ を因数分解します。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}} + 4$

ステップ 4.3.4.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x - 4 + 4$

ステップ 4.3.5

$x - 4 + 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

ステップ 4.3.5.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ は $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

微分積分学準備 例

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