微分積分学準備例

$\frac{x^{2} - 121}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

$121$ を $11^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 11^{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

ステップ 1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 11$ です。

$\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

ステップ 2

$\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$ に $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$ をかけます。

$\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$ に $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$ をかけます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{(\sqrt{x} - \sqrt{11}) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}$

ステップ 3.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x \cdot 11} - \sqrt{x \cdot 11} - {\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{1} - {\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5

簡約します。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - {\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 3.3.2

${\sqrt{11}}^{2}$ を $11$ に書き換えます。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{11}$ を $11^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{1}}$

ステップ 3.3.2.5

指数を求めます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 1 \cdot 11}$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $11$ をかけます。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11}$

ステップ 3.4

$x - 11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11}$

ステップ 3.4.2

$(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$ を $1$ で割ります。

$(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

ステップ 4

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$x (\sqrt{x} + \sqrt{11}) + 11 (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$x \sqrt{x} + x \sqrt{11} + 11 (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$x \sqrt{x} + x \sqrt{11} + 11 \sqrt{x} + 11 \sqrt{11}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例