微分積分学準備例

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = \cos (2 θ)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos^{4} (θ)$ を ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ に書き換えます。

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

ステップ 2.2

$\sin^{4} (θ)$ を ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ に書き換えます。

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

ステップ 2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos^{2} (θ)$ であり、 $b = \sin^{2} (θ)$ です。

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

ステップ 2.6

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

ステップ 2.7

余弦2倍角の公式を当てはめます。

$\cos (2 θ)$

ステップ 3

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = \cos (2 θ)$ は公式です

微分積分学準備 例