微分積分学準備例

$y = 8^{2 x}$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = 8^{2 y}$

ステップ 2

$y$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式を $8^{2 y} = x$ として書き換えます。

$8^{2 y} = x$

ステップ 2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (8^{2 y}) = \ln (x)$

ステップ 2.3

$2 y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (8^{2 y})$ を展開します。

$2 y \ln (8) = \ln (x)$

ステップ 2.4

$2 y \ln (8) = \ln (x)$ の各項を $2 \ln (8)$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 y \ln (8) = \ln (x)$ の各項を $2 \ln (8)$ で割ります。

$\frac{2 y \ln (8)}{2 \ln (8)} = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y \ln (8)}{2 \ln (8)} = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (8)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

ステップ 2.4.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$ が $f (x) = 8^{2 x}$ の逆か確認します。

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ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} \cdot 8^{2 x}$ の値を求めます。

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{\ln (8^{2 x})}{2 \ln (8)}$

ステップ 4.2.3

$2 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (8^{2 x})$ を展開します。

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{2 x \ln (8)}{2 \ln (8)}$

ステップ 4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{2 x \ln (8)}{2 \ln (8)}$

ステップ 4.2.4.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.5

$\ln (8)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

ステップ 4.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{2 (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)})}$

ステップ 4.3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (8)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{2 (\frac{\ln (x)}{\ln (8^{2})})}$

ステップ 4.3.4

$8$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{2 (\frac{\ln (x)}{\ln (64)})}$

ステップ 4.3.5

$2 \frac{\ln (x)}{\ln (64)}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.5.1

$2$ と $\frac{\ln (x)}{\ln (64)}$ をまとめます。

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (64)}}$

ステップ 4.3.5.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (64)}}$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$ は $f (x) = 8^{2 x}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

微分積分学準備 例

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